求解非方阵中的线性方程组

Posted 2021-03-30

我有一个线性方程组成一个NxM矩阵（即非方形），我需要解决 - 或至少试图解决，以表明没有解决方案的系统。 （更可能的是，没有解决方案）

据我了解，如果我的矩阵不是正方形（过度或未确定），那么就找不到确切的解决方案 - 我是否正确地思考这个？有没有办法将我的矩阵转换为方阵以计算确定性，应用高斯消元法，克莱默定律等？

值得一提的是，我的未知数的系数可能为零，因此在某些极少数情况下，可能会有零列或零行。

答案

矩阵是否为正方形不是决定解空间的因素。它是矩阵的等级与确定的列数相比（参见the rank-nullity theorem）。通常，对于线性方程组，您可以有零个，一个或无限多个解，这取决于它的秩和无效关系。

但是，要回答您的问题，您可以使用高斯消元法找到矩阵的秩，如果这表明存在解，则找到特定解x0和矩阵的零空间Null（A）。然后，您可以将所有解决方案描述为x = x0 + xn，其中xn表示Null（A）的任何元素。例如，如果矩阵是满秩，则其零空间将为空，并且线性系统将具有至多一个解。如果它的等级也等于行数，那么您有一个唯一的解决方案。如果零空间的尺寸为1，那么您的解决方案将是一条穿过x0的线，该线上的任何点都满足线性方程。

另一答案

好的，首先：非方形方程组可以有一个精确的解

[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y]   [1]
         [z] 

显然有一个解决方案（实际上，它有一个1维解决方案：x = z = 1）。即使系统超定而不是欠定，它仍然可以有一个解决方案：

[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y]   [1]
[ 1 1 ]      [2]

（X = Y = 1）。您可能希望首先查看最小二乘解法，如果存在则找到精确解，如果不存在，则找出“最佳”近似解（在某种意义上）。

另一答案

最小二乘推荐是非常好的。

我将补充一点，您可以尝试一种奇异值分解（SVD），它将为您提供最佳答案，并免费提供有关零空间的信息。

另一答案

以Ax = b为例，A有m列和n行。我们不能保证只有一个解决方案，这在很多情况下是因为我们有更多的方程而不是未知数（m更大的n）。这可能是因为我们真正想要的重复测量，因为我们对噪音的影响持谨慎态度。

如果我们观察到我们找不到实际意味着的解决方案，那么就无法找到b穿过A跨越的列空间（因为x只是采用了列的组合）。

然而，我们可以要求A所跨越的空间中的点最接近b。我们怎么能找到这样的观点呢？走在飞机上最近的一个可以到达它外面的一个点，就是走到你正下方。从几何上讲，这是我们的视线垂直于平面的时候。

现在，我们可以有一个数学公式。垂直向量提醒我们正交投影。这就是我们要做的。最简单的情况告诉我们做a.T b。但我们可以采取整个矩阵A.T b。

对于我们的等式，让我们将转换应用于双方：A.T Ax = A.T b。最后一步是通过取A.T A的倒数求解x：

x = (A.T A)^-1 * A.T b