矩阵指数函数与常微分方程组求解

Posted 2023-03-23

参考技术A

矩阵指数函数(matrix exponential)可用来求解常微分方程组。对于方形矩阵A，其矩阵指数函数定义为：
对矩阵A进行相似变换，

结合 与 可得:

矩阵指数函数有以下性质：
如果两个方阵A, B满足 , 则:

矩阵函数的导数:

可以通过级数展开得到验证。

对于不含多余项的线性常微分方程组:

其解为:

可以通过Taylor展开进行验证。也可以通过变换得到:

根据 ,

即:

从而

对于含多余项的线性常微分方程组:

可以通过变换再进行求解:

利用 ， 可以改为:

因而

对于系数为常数的线性常微分方程组，可以使用矩阵指数函数来定义拟合函数，由于是显性表达式，它比ode45等方法更准确、快速。MATLAB, Python, Origin等软件都提供了 expm 类似函数。