数论之欧拉定理

Posted 2020-11-16 newton

本文介绍[初等]数论、群的基本概念，并引入几条重要定理，最后籍着这些知识简单明了地论证了欧拉函数和欧拉定理。

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

算术基本定理（用反证法易得）：又称唯一分解定理，表述为 任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，公式：(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}cdots p_k^{a_k}=prodlimits_{i=1}^kp_i^{a_i})，这里(p_i)均为质数，其指数(a_i)是正整数。算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。

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群

集合封闭性：集合中的任意个数元素经过运算所得结果仍是该集合的元素，则称该集合在此运算法则下是封闭的。

单位元：单位元(e)与任意元素(a)运算所得结果仍为(a)。

逆元：若(a*b=b*a=e)（(*)表示该群的二元运算符），则称(a)与(b)互为逆元。

群：群是指由一个集合(G)和一个二元运算符构成的代数系，对于该二元运算符是封闭的、可结合的，拥有单位元，并且每个元素都有对应的逆元（逆元也是集合中的元素）。例如：整数集(mathbb{Z})就是一个具有加法运算(表示为(+))的群，其中0为单位元，任意元素(a)都有逆元(-a)。

思考：整数集在乘法运算下是否为群？

有限群是元素数目有限的群。对于有限群(G)的任意元素(a)，定义(a^{i+1}=a * a^{i})，则可得到一系列元素(a,a^2,a^3,cdots)（可称为(a)的轨道），最后该系列元素必然会重复，因为有限群的元素是有限的。(a)第一次重复出现前的元素必为单位元(e)，(a)的轨道的元素个数称为元素(a)的阶，设为(k)，即有(a^k=e)。有限群(G)中任意元素的轨道都是(G)的一个[循环]子群。

拉格朗日 (Lagrange)定理：有限群中任意元素的阶必定整除该有限群的阶。（按某种方法将群中所有元素构造成一个二维数组可得）

等价类：又称同余类，即除以(n)得到相同余数(r)的整数组成的子集，表示为(langle r angle_{n})。(r)可取值为0到(n-1)，都能得到相应的等价类，我们取每个等价类中的最小非负整数得到的集合表示为(Z_{n})。显然(Z_{n}={0, cdots, n-1})，这是(n)的所有等价类的规范化表示，又称为(n)的最小[完全]余数系。

显然，(Z_{n})在加法运算下为一个有限群，而在乘法运算下则不是（元素未必有逆元）。我们将(Z_{n})中在乘法运算下有逆元的元素的集合表示为(Z_{n}^{*})，这些元素的一个特性是和(n)没有公因子，如(Z_{10}^{*}={1,3,7,9} ext { 和 } Z_{12}^{*}={1,5,7,11})。(Z_{n}^{*})是乘法运算下的一个群。

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欧拉定理

理解欧拉定理总是要先介绍欧拉函数。欧拉函数用于计算小于等于(n)且与(n)互素的正整数的个数，用(varphi(n))表示。显然，小于等于(n)且与(n)互素的正整数的集合即(Z_{n}^{*})。可知(varphi(n)=# Z_{n}^{*})，其中(# S)表示集合(S)的基数（元素个数）。若(n)是素数，那么(Z_{n}=Z_{n}^{*})，(# Z_{n}^{*}=n-1)。

定理1.1：对于素数(p ext { 和 } q, varphi(pq)=varphi(p)varphi(q)=(p-1)(q-1), ext { 且 } varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1))。（其实前者只要(p, q)互素即可满足，可通过构造一个(p imes q)二维数组得到，亦或根据中国剩余定理可推得）

证明欧拉函数通用形式：(varphi(x)=xprodlimits_{i=1}^r(1-frac{1}{p_i}))，其中(x>1, p_1, cdots, p_r ext { 为 } x)的所有质因数。

根据算术基本定理，可写(x=prodlimits_{i=1}^{r}P_i^{k_i})，同时易证若干素数的幂方乘积与另外若干不同素数的幂方乘积互素，即 ((prodlimits_{i=1}^ap_i^{j_i},prodlimits_{i=1}^bq_i^{k_i})=1)，于是：

依据定理1.1，(varphi(x)=varphileft(p_{1}^{k_{1}} ight) varphileft(p_{2}^{k_{2}} ight) cdots varphileft(p_{r}^{k_{r}} ight)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)),

即证：(varphi(x)=prodlimits_{i=1}^rp_i^{k_i-1}(p_i-1)=xprodlimits_{i=1}^r(1-frac{1}{p_i}))

 注意：每种质因数只计数一个。 比如12=2*2*3那么根据欧拉函数φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4。

欧拉定理（Euler‘s theorem）：若(a)是(Z_{n}^{*})的一个元素，则有(a^{varphi(n)}=1(mod n))。

根据欧拉函数的定义，(#Z_n^*=varphi(n))。设(k)为元素(a)的阶，根据拉格朗日定理，(varphi(n))可被(k)整除，即有整数(r)，使得(varphi(n)=rk)。

又由本文前述可知，元素的阶次幂等于单位元，即(a^k=1(mod n))，于是：

(a^{kr}=a^{varphi(n)}=1(mod n))，得证。

欧拉定理更一般的表述：若正整数(a,n)互素，则(a^{varphi(n)}=1(mod n))。

从上述证明过程可知，如果 a 与 n 是互素的正整数，满足同余方程(a^xequiv 1pmod{n})的解都是元素(a)的阶的正整数倍。此处阶可记为(ord_na)。

根据欧拉定理，(a a^{varphi(n)-1}=1(mod n))，可得(a)的逆元（此处又可称模反元素）必定存在，且(a^{-1}=a^{varphi(n)-1})。

思考：费马小定理是欧拉定理的一个特例，试推断之。

定理：欧拉函数满足(sum_{d | n} varphi(d)=n)，其中(sum)的下标表示(n)的所有因数（包括(n ext { 和 } 1)）。

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其它

生成元：群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成，这组群元称为该群的生成元，生成元的数目为有限群的秩。

秩：生成元的数目为有限群的秩。有限群的生成元的选择不唯一，但秩不变。

 

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