一元函数积分学的概念与计算

Posted 2021-03-17 yc-l

 

不定积分

原函数与不定积分

设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，对于该区间上任意一点都有F‘(x)=f(x)成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数

，其中C为任意常数

 

原函数（不定积分）存在定理

• 连续函数f(x)必有原函数F(x)
• 含有第一类间断点、无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x)

定积分

 

• 若f(x)<0，曲边梯形就在x轴下方，定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积，但积分的值是负的

定积分的精确定义（可以计算特殊形式的数列极限）

定积分存在定理（定积分存在，又称一元函数的（常义）可积性）

常义，"区间有限，函数有界"；反常，"区间无穷，函数无界"

定积分存在的充分条件

 

定积分存在的必要条件（有界，从积分曲线上理解，面积不能无穷大）

定积分性质

性质1 求区间长度 

 

 性质2 积分的线性性质

 

 

 性质3 积分的可加性

 

 性质4 积分的保号性

 

如下图，积分的绝对值为0，但绝对值的积分是图形面积的两倍

 

保号性

性质5 估值定理

 

 

性质6 （积分中值定理）

设f(x)在闭区间[a, b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点 ξ，使得 

变限积分

 

变限积分的性质

 

 变限积分存在，必然连续