裴礼文数学分析中的典型问题与方法第4章一元函数积分学练习
Posted 张祖锦的数学博客
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了裴礼文数学分析中的典型问题与方法第4章一元函数积分学练习相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
4.1.1 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(x)>0$, 求极限 $\\vlm{n}\\sqrt[n]{f\\sex{\\f{1}{n}}f\\sex{\\f{2}{n}}\\cdots f\\sex{\\f{n-1}{n}}f(1)}$.
4.1.2 考虑积分 $\\dps{\\int_0^1 (1-x)^n\\rd x}$, 证明 $$\\bex C_n^0-\\f{1}{2} C_n^1+\\f{1}{3}C_n^2-\\cdots+\\f{(-1)^n}{n+1}C_n^n =\\f{1}{n+1}. \\eex$$
4.1.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 而且对任何 $x\\in (0,1)$ 有 $|f\'(x)|\\leq M$. 求证: 对任何正整数 $n$ 有 $\\dps{\\int_0^1 f(x)\\rd x-\\f{1}{n}\\sum_{i=1}^n f\\sex{\\f{i}{n}}\\leq \\f{M}{n}}$, 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数. (南开大学)
4.1.4 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数, 且在 $[0,T]$ 上可积. 试证: $$\\bex \\vlm{n}\\int_a^b f(x)g(\\lm x)\\rd x=\\f{1}{T}\\int_0^T g(x)\\rd x\\int_a^b f(x)\\rd x. \\eex$$
4.1.5 设 $s(x)=4[x]-2[2x]+1$ 其中 $[x]$ 代表数 $x$ 的整数部分 (即不超过 $x$ 的整数之最大值), $n$ 代表自然数, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积. 证明 $$\\bex \\vlm{n}\\int_0^1 f(x)s(nx)\\rd x=0.\\qwz{兰州大学} \\eex$$
4.1.6 设 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, $f_0(x)>0$. $$\\bex f_n(x)=\\sqrt{\\int_0^x f_{n-1}(t)\\rd t},\\ n=1,2,\\cdots. \\eex$$ 试求 $\\dps{\\vlm{n}f_n(x),\\ (x\\in [0,1])}$.
4.1.7 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$, $g(x)>0$. 求 $\\dps{\\vlm{p}\\sex{\\int_a^b g(x)f^p(x)\\rd x}^\\f{1}{p^2}}$.
4.1.8 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二次可微, 且 $f\'\'(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $$\\bex B_n=\\int_a^b f(x)\\rd x-\\f{b-a}{n}\\sum_{i=1}^n f\\sex{a+(2i-1)\\f{b-a}{2n}}. \\eex$$ 试证: $\\dps{\\vlm{n}n^2B_n=\\f{(b-a)^2}{24}[f\'(b)-f\'(a)]}$.
4.1.9 设 $$\\bex A_n=\\f{1}{n+1}+\\f{1}{n+2}+\\cdots+\\f{1}{2n},\\quad B_n=\\f{2}{2n+1}+\\f{2}{2n+3}+\\cdots+\\f{2}{4n-1}. \\eex$$ 试证: $$\\bex \\vlm{n}n[\\ln 2-A_n]=\\f{1}{4},\\quad \\vlm{n}n^2[\\ln 2-B_n]=\\f{1}{32}. \\eex$$
4.1.10 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $\\dps{f_{in}=f\\sex{a+i\\f{b-a}{n}}}$. 试利用不等式 $$\\bex |\\ln(1+x)-x|\\leq 2x,\\ \\sex{|x|<\\f{1}{2}} \\eex$$ 证明 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{1+f_{1n}\\f{b-a}{n}} \\sex{1+f_{2n}\\f{b-a}{n}}\\cdots \\sex{1+f_{nn}\\f{b-a}{n}}=\\e^{\\int_0^1 f(x)\\rd x}}$.
4.1.11 设 $f(x)$ 是在 $[-1,1]$ 上可积在 $x=0$ 处连续的函数, 记 $\\dps{\\varphi_n(x)=\\seddm{ (1-x)^n,&0\\leq x\\leq 1,\\\\ \\e^{nx},&-1\\leq x\\leq 0. }}$ 证明: $\\dps{\\vlm{n}\\f{n}{2}\\int_0^1 f(x)\\varphi_n(x)\\rd x=f(0)}$. (浙江大学)
4.1.11 设 $\\dps{f(x)=\\int_x^{x^2} \\sex{1+\\f{1}{2t}}^t \\sin\\f{1}{\\sqrt{t}}\\rd t\\ (x>0)}$. 求 $\\dps{\\vlm{n}f(n)\\sin \\f{1}{n}}$. (福建师范大学)
4.2.1 设函数 $f(u)$ 在区间 $[A,B]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 当 $x\\in [a,b]$ 时, $A\\leq g(x)\\leq B$. 试用各种不同的方法证明 $f[g(x)]$ 在 $[a,b]$ 上可积.
4.2.2 试用多种方法证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, 设 (1) $\\dps{f(x)=\\sgn\\sex{\\sin\\f{\\pi}{x}}}$; (2) $\\dps{f(x)=\\seddm{ \\f{1}{x}-\\sez{\\f{1}{x}},&x\\neq 0\\\\ 0,&x=0 }}$.
4.2.3 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证 $\\max\\sed{f(x),g(x)}$ 及 $\\min\\sed{f(x),g(x)}$ 在 $[a,b]$ 上亦可积.
4.2.4 试用定理 3 重新证明 Riemann 函数在 $[0,1]$ 上可积.
4.2.5 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $[f(x)]$ 表示 $f(x)$ 的值取整数部分. 试问 $[f(x)]$ 在 $[a,b]$ 上是否一定可积.
4.2.6 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证: 对于 $[a,b]$ 上任一可积函数 $g(x)$, 恒有 $\\dps{\\int_a^b f(x)g(x)\\rd x=0}$, 则函数 $f(x)$ 在连续点上恒为零.
4.2.7 设在 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足如下条件: 对 $[-1,1]$ 上的任意的偶连续函数 $g(x)$, 积分 $\\dps{\\int_{-1}^1 f(x)g(x)\\rd x=0}$. 试证: $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的奇函数. (武汉大学)
4.3.1 证明: (1) $\\dps{\\sqrt{2}\\e^{-\\frac{1}{2}}<\\int_{-\\frac{1}{\\sqrt{2}}}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\e^{-x^2}\\rd x<\\sqrt{2}}$; (2) $\\dps{0<\\frac{\\pi}{2}-\\int_0^\\frac{\\pi}{2} \\frac{\\sin x}{x}\\rd x<\\frac{\\pi^3}{144}}$; (3) $\\dps{\\frac{2}{9}\\pi^2\\leq \\int_\\frac{\\pi}{6}^\\frac{\\pi}{2}\\frac{2x}{\\sin x}\\rd x\\leq \\frac{4}{9}\\pi^2}$.
4.3.2 证明: $\\dps{0\\leq x\\leq \\frac{\\pi}{2}}$ 时, $\\dps{\\sin x\\leq x-\\frac{1}{3\\pi}x^3}$.
4.3.3 求证: $\\dps{f(x)=\\int_0^x (t-t^2)\\sin^{2n}t\\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\\geq 0$ 上的最大值不超过 $\\dps{\\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大学)
4.3.4 把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$: (1) $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负; (2) $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证明: $\\dps{\\inf_{f\\in F}\\int_0^1 f(x)\\rd x=0}$, 但不存在 $\\varphi\\in F$, 使 $\\dps{\\int_0^1 \\varphi(x)\\rd x=0}$. (厦门大学)
4.3.5 若 $f\'(x)$ 在 $[0,2\\pi]$ 上连续, 且 $f\'(x)\\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\\bex \\sev{\\int_0^{2\\pi}f(x)\\sin nx\\rd x}\\leq \\frac{2[f(2\\pi)-f(0)]}{n}. \\eex$$ (东北师范大学)
4.3.6 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f\'(x)\\searrow$, $|f\'(x)|\\geq m>0$, 试证: $$\\bex \\sev{\\int_a^b \\cos f(x)\\rd x}\\leq \\frac{2}{m}. \\eex$$
4.3.7 $f(x)\\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\\in [a,b]$, 使 $$\\bex |f\'(c)|>\\frac{4}{(b-a)^2}\\int_a^b |f(x)|\\rd x. \\eex$$
4.3.8 将条件 $f(x)\\neq 0$ 换为 $f\'\'(x)<0$, 重新证明例 4.3.5.
4.3.9 证明 $\\dps{\\int_0^\\frac{\\pi}{2} t\\sex{\\frac{\\sin nt}{\\sin t}}^4\\rd t<\\frac{\\pi^2n^2}{4}}$.
4.3.10 对自然数 $n\\geq 2$, 证明 $$\\bex \\frac{1}{\\pi}\\int_0^\\frac{\\pi}{2}\\sev{\\frac{\\sin (2n+1)t}{\\sin t}}\\rd t<\\frac{2+\\ln n}{2}. \\eex$$
4.3.11 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\\al,\\beta]$ ($a\\leq \\al<\\beta\\leq b$), 不等式 $$\\bex \\sev{\\int_\\al^\\beta f(x)\\rd x}\\leq M|\\beta-\\al|^{1+\\delta}\\quad (M,\\delta\\mbox{ 是正常数}) \\eex$$ 成立. 证明: 在 $[a,b]$ 上, $f(x)\\equiv 0$. (国外赛题)
4.3.12 证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\\in [0,1]$ 有 $\\dps{\\int_0^x f(u)\\rd u\\geq f(x)\\geq 0}$, 则 $f(x)\\equiv 0$. (上海师范大学)
4.3.13 证明: 如果在 $(-\\infty,+\\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\\bex \\int_x^{x+1}f(x)\\rd t=0, \\eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数.
4.3.14 设 $f(x)$ 处处连续, $\\dps{F(x)=\\frac{1}{2\\delta}\\int_{-\\delta}^\\delta f(x+t)\\rd t}$, 其中 $\\delta$ 为任何正数. 证明: (1) $F(x)$ 对任何 $x$ 有连续导数; (2) 在任意闭区间 $[a,b]$ 上, 当 $\\delta$ 足够小时, 可使 $F(x)$ 与 $f(x)$ 一致逼近 (即任给 $\\ve>0$, 对一切 $x\\in [a,b]$ 均有 $|F(x)-f(x)|<\\ve$). (华东师范大学)
4.3.15 $[a,b]$ 上的连续函数列 $\\varphi_1,\\varphi_2,\\cdots,\\varphi_n,\\cdots$ 满足 $\\dps{\\int_a^b \\varphi_n^2(x)\\rd x=1}$. 证明: 存在自然数 $N$ 及定数 $c_1,c_2,\\cdots,c_N$ 使 $\\dps{\\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $\\dps{\\max_{x\\in [a,b]} \\sev{\\sum_{k=1}^n c_k\\varphi_k(x)}>100}$. (扬州师范学院)
4.3.16 按牛顿二项式展开及代换 $x=\\sin t$ 两种方法计算积分 $\\dps{\\int_0^1 (1-x^2)^n\\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\\bex \\sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \\frac{1}{2k+1}=\\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. \\eex$$
4.3.17 设在 $\\dps{\\sex{0,\\frac{\\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$\\bex f^2(x)=\\int_0^x f(t)\\frac{\\tan t}{\\sqrt{1+2\\tan^2t}}\\rd t. \\eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函数表达式. (复旦大学)
4.3.18 设 $\\dps{\\lim_{x\\to 0}\\frac{1}{bx-\\sin x}\\int_0^x \\frac{t^2}{\\sqrt{a+t^2}}\\rd t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学)
4.3.19 求 $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty} \\int_x^{x+2} t\\sex{\\sin \\frac{3}{t}}f(t)\\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\\dps{\\lim_{t\\to+\\infty}f(t)=1}$. (中国科学技术大学)
4.3.20 设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\\bex |f(0)|\\leq \\frac{1}{a}\\int_0^a |f(x)|\\rd x+\\int_0^a |f\'(x)|\\rd x. \\eex$$ (华中师范大学)
4.3.21 设 $f(x)$ 的一阶导数在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求证: $\\dps{\\sev{\\int_0^1 f(x)\\rd x}\\leq \\frac{1}{4}\\max_{0\\leq x\\leq 1}|f\'(x)|}$. (清华大学)
4.3.22 设 $f\\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\\dps{8\\int_\\frac{7}{8}^1 f(x)\\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\\xi\\in (0,1)$, 使得 $f\'(\\xi)=0$. (北京大学)
4.3.23 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\\dps{F(x)=\\int_a^x f(t)\\rd t+\\int_b^x \\frac{1}{f(t)}\\rd t}$. 试证: (1) $F\'(x)\\geq 2$; (2) $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且仅有一个实根. (华中师范大学)
4.3.24 设 $\\dps{f(x)=\\int_x^{x+1}\\sin t^2\\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\\dps{|f(x)|<\\frac{1}{x}}$. (北京工业大学)
4.3.25 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\\bex \\lim_{h\\to 0}\\frac{1}{h^3}\\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\\rd u=0,\\quad(x\\in [a,b]), \\eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.
4.3.26 设 $f(x)$ 是 $[-\\pi,\\pi]$ 上的凸函数, $f\'(x)$ 有界. 求证: $$\\bex a_{2n}=\\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^\\pi f(x)\\cos 2nx\\rd x\\geq 0;\\quad a_{2n+1}=\\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^\\pi f(x)\\cos (2n+1)x\\rd x\\leq 0. \\eex$$
4.3.27 设 $f(x)$ 是 $[0,2\\pi]$ 上的凸函数, $f\'(x)$ 有界. 求证: $$\\bex a_n=\\frac{1}{\\pi}\\int_0^{2\\pi} f(x)\\cos nx\\rd x\\geq 0. \\eex$$
4.3.28 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 试证: $f(x)$ 为凸的充分必要条件是 $$\\bex f(x)\\leq\\frac{1}{2h}\\int_{-h}^h f(x+t)\\rd t \\eex$$ 对 $\\forall\\ [x-h,x+h]\\subset [a,b]$ 时成立.
4.4.1 证明: $\\dps{0.83<\\int_0^1\\frac{\\rd x}{\\sqrt{1+x^4}}<0.95}$.
4.4.2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=0$. 试证: $$\\bex M^2\\leq (b-a)\\int_a^b f\'^2(x)\\rd x, \\eex$$ 其中 $\\dps{M=\\sup_{a\\leq x\\leq b}|f(x)|}$.
4.4.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 并且 $f(1)-f(0)=1$. 证明 $$\\bex \\int_0^1 f\'^2(x)\\rd x\\geq 1. \\eex$$ (国外赛题)
4.4.4 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微 ($0<a<b$), $f(a)=f(b)=0$, $\\dps{\\int_a^b f^2(x)\\rd x=1}$. 试证: $$\\bex \\int_a^b x^2f\'^2(x)\\rd x>\\frac{1}{4}. \\eex$$
4.4.5 试证: $$\\bex 0<q<p\\ra \\ln \\frac{p}{q}\\leq \\frac{p-q}{\\sqrt{pq}}. \\eex$$
4.4.6 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数, $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\\bex \\int_a^b |f(x)f\'(x)|\\rd x\\leq \\frac{b-a}{4}\\int_a^b f\'^2(x)\\rd x, \\eex$$ 并且 $\\dps{\\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
4.4.7 若 $u_1,u_2,\\cdots,u_n\\geq 0$, $u_1\\cdot u_2\\cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+\\cdots+u_n\\geq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理).
4.4.8 设 $x_1,x_2,\\cdots,x_n$ 是正数, 且 $n\\geq 1$. 证明: $$\\bex \\sqrt[n]{x_1x_2\\cdots x_n}\\leq \\frac{1}{\\frac{1}{n}\\sex{\\frac{1}{x_n}+\\cdots +\\frac{1}{x_n}}}. \\eex$$ (中山大学)
4.4.9 设 $f(x)$ $\\nearrow$ 连续 (当 $x\\geq 0$ 时), $f(0)=0$, $a,b\\geq 0$, 试证: $ab\\leq af(a)+bf^{-1}(b)$.
4.4.10 若 $\\forall\\ i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\\geq 0$, 则 $a_i,b_i$ 称为似序的. 若恒有相反的不等式, 则称之为反序的. 试证: $a_i,b_i$ 似序时 $$\\bex \\sum_{i=1}^n a_i\\cdot \\sum_{i=1}^n b_i\\leq n \\sum_{i=1}^n a_ib_i, \\eex$$ $a_i,b_i$ 反序时不等式反号. 等号当且仅当 $a_1=\\cdots=a_n$ 或 $b_1=\\cdots =b_n$ 时成立. (Chebyshev)
4.5.1 计算 (1) $\\dps{\\int_a^b \\frac{\\rd x}{\\sqrt{(x-a)(b-x)}}\\ (b>a)}$. (2) $\\dps{\\int_{-1}^1 \\frac{\\rd x}{(a-x)\\sqrt{1-x^2}}\\ (a>1)}.$
4.5.2 计算 $\\dps{\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{\\rd x}{(x^2+2x+2)^n}}$. (中国科学院)
4.5.3 求 $\\dps{\\int_0^\\infty f(x^p+x^{-p}) \\frac{\\ln x}{1+x^2}\\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续).
4.5.4 计算 $\\dps{\\int_0^1 \\frac{\\arcsin x}{x}\\rd x}$.
4.5.5 计算 $\\dps{\\int_0^\\frac{\\pi}{2} \\frac{\\sin (2k-1)x}{\\sin x}\\rd x}$.
4.5.6 证明 $\\dps{\\int_0^\\infty f\\sez{\\sex{Ax-\\frac{B}{x}}^2}\\rd x=\\frac{1}{A}\\int_0^\\infty f(y^2)\\rd y}$ (其中左、右积分存在, 且 $A,B>0$).
4.5.7 研究下列积分的收敛性: (1) $\\dps{\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^ne^{-\\sex{x^2+\\frac{1}{x^2}}}\\rd x}$ ($n$ 为自然数). (2) $\\dps{\\int_0^{+\\infty} \\sin^2\\sez{\\pi\\sex{x+\\frac{1}{x}}}\\rd x}$.
4.5.8 设 $f(x)$ 在 $[a,\\infty)$ 上可微; 且 $x\\to\\infty$ 时, $f\'(x)$ 单调递增趋于 $+\\infty$, 则 $$\\bex \\int_a^\\infty \\sin f(x)\\rd x,\\quad \\int_a^\\infty \\cos f(x)\\rd x \\eex$$ 都收敛.
4.5.9 设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\\geq 0$, 且 $\\dps{\\int_0^\\infty f(x)\\rd x<+\\infty}$, 求证: $$\\bex \\frac{1}{n}\\int_0^n xf(x)\\rd x\\to 0\\quad\\sex{n\\to\\infty}. \\eex$$ (中国科学院)
4.5.10 证明 $\\dps{\\lim_{x\\to\\infty}\\int_0^\\infty \\frac{\\e^{-tx}}{1+t^2}\\rd t=0}$.
4.5.11 设 $f(x)$ 是 $0\\leq x<\\infty$ 上的非负连续函数并满足 (1) 在 $0\\leq x<\\infty$ 上存在有界导数 $f\'(x)$; (2) $\\dps{\\int_0^\\infty f(x)\\rd x<\\infty}$. 求证: $\\dps{\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=0}$. (山东大学)
4.5.12 $f(x)$ 在 $[a,+\\infty)$ 上连续且 $\\dps{\\int_a^{+\\infty}f(x)\\rd x}$ 收敛. 问能否断定: $\\exists\\ x_n\\to\\infty$, 使 $\\dps{\\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)
4.5.13 设 $f(x)$ 于任一有限区间 $[0,a]\\ (a>0)$ 上正常可积, 于 $[0,\\infty)$ 上绝对可积, 则 $$\\bex \\vlm{n}\\int_0^\\infty f(x)|\\sin nx|\\rd x =\\frac{2}{\\pi}\\int_0^\\infty f(x)\\rd x. \\eex$$ (南京大学)
4.5.14 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\\infty)$ 连续, 且当 $t\\to+\\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\\lm<0$, 证明: 当 $t\\to\\infty$ 时, $$\\bex \\int_t^\\infty p(\\tau)\\e^{\\lm \\tau}\\rd \\tau=o(t^{N+1})\\e^{\\lm t}. \\eex$$ (北京师范大学)
4.5.15 $\\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$\\bex \\vlm{n}\\sqrt[n]{A_n}=2,\\quad \\vlm{n}\\sqrt[n]{G_n}=\\sqrt{\\e}. \\eex$$
4.5.16 例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $\\dps{\\vlm{n}\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n-1} f\\sex{\\frac{i}{n}}}$ 存在, $\\dps{\\int_0^1 f(x)\\rd x}$ 可以不收敛.
4.5.17 已知积分 $\\dps{\\int_0^\\infty \\frac{\\sin \\beta x}{x}\\rd x=\\frac{\\pi }{2}\\sgn \\beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\\dps{\\int_0^\\infty \\frac{\\sin x\\cos xt}{x}\\rd x}$. (华北电力学院)
4.5.18 证明: $$\\bex \\int_0^\\infty \\frac{\\rd x}{1+x^4}=\\int_0^\\infty \\frac{x^2}{1+x^4}\\rd x=\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}}. \\eex$$ (北京航空航天大学)
以上是关于裴礼文数学分析中的典型问题与方法第4章一元函数积分学练习的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章