裴礼文数学分析中的典型问题与方法第5章级数练习

Posted 2020-09-22 张祖锦的数学博客

参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html

 

 

5.1.1  设 $k,i,j$ 都是自然数, 且 $k=i+j$, 试求级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{1}{(kn-i)(kn+j)}}$ 的和.  

 

5.1.2  设 $\\sed{a_n}$ 为等差数列, $a_{n+1}-a_n=d>0\\ (n=1,2,\\cdots)$, $m$ 为一正整数. 计算  $$\\bex  S=\\vsm{n}\\frac{1}{a_n\\cdot a_{n+1}\\cdots a_{n+m}}.  \\eex$$

 

5.1.3  证明级数  $$\\bex  1  +\\frac{1}{\\sqrt{3}}  -\\frac{1}{\\sqrt{2}}  +\\frac{1}{\\sqrt{5}}  +\\frac{1}{\\sqrt{7}}  -\\frac{1}{\\sqrt{4}}  +\\frac{1}{\\sqrt{9}}  +\\frac{1}{\\sqrt{11}}  -\\frac{1}{\\sqrt{6}}  +\\cdots  \\eex$$ 发散到 $+\\infty$. (吉林大学)

 

5.1.4 证明: 当 $p\\geq1$ 时, $$\\bex \\vsm{n}\\frac{1}{(n+1)\\sqrt[p]{n}}<p. \\eex$$ (国外赛题)

 

5.1.5 证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$.

 

5.1.6 证明下列级数收敛: (1) $\\dps{\\vsm{n}\\sez{\\frac{1}{n}-\\ln\\sex{1+\\frac{1}{n}}}}$; (2) $\\dps{\\vsm{n}\\sez{\\e-\\sex{1+\\frac{1}{1!}+\\frac{1}{2!}+\\cdots+\\frac{1}{n!}}}}$. (东北师范大学)

 

5.1.7 设 $a_n=n^{n^{\\alpha}}-1$, 讨论级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 的敛散性.

 

5.1.8 设正项级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\\bex \\vsm{n}\\frac{a_n}{\\sqrt{r_{n-1}}+\\sqrt{r_n}} \\eex$$ 仍收敛, 其中 $$\\bex r_n=\\sum_{k=n+1}^\\infty a_k. \\eex$$ (云南大学)

 

5.1.9 证明: 若有 $\\al>0$, 使当 $n\\geq n_0$ 时, $\\dps{\\frac{\\ln \\frac{1}{a_n}}{\\ln n}\\geq 1+\\al\\ (a_n>0)}$, 则级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n\\ (a_n>0)}$ 收敛; 若 $n\\geq n_0$ 时, $\\dps{\\frac{\\ln \\frac{1}{a_n}}{\\ln n}\\leq 1}$, 则这级数发散 (对数判别法).

 

5.1.10 序列 $\\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\\dps{\\vsm{n}\\sex{1-\\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题)

 

5.1.11 证明: 若 $a_n>0$, $a_n\\searrow 0$, 则 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 与 $\\dps{\\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\\max\\sed{n;a_n\\geq 2^{-m}}$) 同时敛散. (Lobachevsky 判别法)

 

5.1.12 设 $0<x_<\\pi$, $x_n=\\sin x_{n-1}\\ (n=2,3,\\cdots)$, 证明: 级数 $\\dps{\\vsm{n} x_n^p}$ 当 $p>2$ 时收敛; 当 $p\\leq 2$ 时发散. (吉林大学)

 

5.1.13 证明级数 $$\\bex 1+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3} +\\frac{1}{4}+\\frac{1}{5}-\\frac{1}{6}+\\cdots \\eex$$ 发散.

 

5.1.14 设 $a_n\\neq 0\\ (n=1,2,\\cdots)$ 且 $\\dps{\\vlm{n}a_n=a\\ (a\\neq 0)}$. 求证: 下列两级数 $$\\bex \\vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\\quad \\vsm{n}\\sev{\\frac{1}{a_{n+1}}-\\frac{1}{a_n}} \\eex$$ 同时收敛或同时发散. (上海交通大学)

 

5.1.15 设 $\\varphi(x)$ 是 $(-\\infty,+\\infty)$ 上的连续周期函数, 周期为 $1$, 且 $\\dps{\\int_0^1 \\varphi(x)\\rd x=0}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\\bex a_n=\\int_0^1 f(x)\\varphi(nx)\\rd x,\\quad n=1,2,\\cdots. \\eex$$ 证明: 级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n^2}$ 收敛. (华东师范大学)

 

5.1.16 设 $f(x)$ 于 $[1,\\infty)$ 上可导, $f\'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\\to A$ (当 $x\\to\\infty$), 证明: $\\dps{\\vsm{n}f\'(n)}$ 收敛.

 

5.1.17 设 $a_n>0$ ($n=1,2,\\cdots$) 且 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛, $\\dps{r_n=\\sum_{k=n}^\\infty a_k}$. 试证: (1) $\\dps{\\vsm{n}\\frac{a_n}{r_n}}$ 发散. (2) $\\dps{\\vsm{n}\\frac{a_n}{\\sqrt{r_n}}}$ 收敛.

 

5.1.18 设 $f(x)$ 是在 $(-\\infty,+\\infty)$ 内的可微函数, 且满足: (1) $f(x)>0$; (2) $|f\'(x)|\\leq m|f(x)|$, 其中 $0<m<1$. 任取 $a_0$, 定义 $a_n=\\ln f(a_{n-1})$, $n=1,2,\\cdots$. 证明: 级数 $\\dps{\\vsm{n}(a_n-a_{n-1})}$ 绝对收敛. (西安电子科技大学)

 

5.1.19 设 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0<p_n\\nearrow+\\infty$, 试证: $$\\bex \\vlm{n} \\frac{p_1a_1+p_2a_2+\\cdots+p_na_n}{p_n}=0. \\eex$$

 

5.1.20 设 $a_n>0$, $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\\bex \\vlm{n}na_n\\ln n=0. \\eex$$

 

5.1.21 设数 $a>0$, $\\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\\geq p_n$. 证明: 级数 $$\\bex \\vsm{n}\\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \\eex$$ 收敛. (国外赛题)

 

5.1.22 举出一个收敛级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n\\ln n}$ 发散.

 

5.1.23 序列 $\\sed{b_n}\\ (n=1,2,\\cdots)$ 具有下列性质: $$\\bex b_n>0,\\quad \\vlm{n}b_n=+\\infty. \\eex$$ 做出序列 $\\sed{a_n}$, 使 $$\\bex a_n\\geq 0,\\quad \\vsm{n}a_n<\\infty,\\quad \\vsm{n}a_nb_n=+\\infty. \\eex$$ (国外赛题)

 

5.1.24 设 $\\sed{n_k}$ 是自然数列 $\\sed{n}$ 的子序列, 试证: (1) 当 $n_k-n_{k-1}\\geq 1$ 时, $\\dps{\\vsm{n}\\frac{1}{n_k}}$ 收敛; (2) 当 $n_k-n_{k-1}\\leq g$ (常数) 时, $\\dps{\\vsm{n}\\frac{1}{n_k}}$ 发散; (3) 当 $n_k-n_{k-1}\\geq k^r\\ (r>0)$ 时, $\\dps{\\vsm{n}\\frac{1}{n_k}}$ 收敛.

 

5.1.25 对函数 $$\\bex \\zeta(s)=\\vsm{n}\\frac{1}{n^s}\\quad\\sex{s>1}, \\eex$$ 证明: $\\dps{\\zeta(s)=s\\int_1^\\infty \\frac{\\sez{x}}{x^{s+1}}\\rd x}$, 其中 $\\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分. (西北师范大学)

 

5.1.26 (1) 求证: 当 $s>0$ 时, $\\dps{\\int_1^\\infty \\frac{x-[x]}{x^{s+1}}\\rd x}$ 收敛; (2) 求证: 当 $s>1$ 时, $$\\bex \\int_1^\\infty \\frac{x-[x]}{x^{s+1}}\\rd x=\\frac{1}{s-1}-\\frac{1}{s}\\vsm{n}\\frac{1}{n^s}. \\eex$$

 

5.1.27 求 $\\dps{\\lim_{t\\to +\\infty}\\sex{\\frac{1}{t} +\\frac{2t}{t^2+1^2}+\\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\\cdots+\\frac{2t}{t^2+n^2}+\\cdots}}$.

 

5.1.28 设 $k>0$, $a>0$. 证明: (1) $\\dps{\\int_a^\\infty \\frac{\\sin 2n\\pi x\\rd x}{x^k}}$ 收敛; (2) $\\dps{\\vsm{n}\\frac{1}{n}\\int_a^\\infty \\frac{\\sin 2n\\pi x\\rd x}{x^k}}$ 收敛.

 

5.1.29 证明: $\\dps{\\vlm{n}\\sed{\\sum_{k=2}^n \\frac{1}{k\\ln k}-\\ln\\ln n}}$ 存在 (有限).

 

5.2.1 设 (1) (i) $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $n=1,2,\\cdots$; (ii) $\\sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$; (iii) 在 $[a,b]$ 上 $f_n(x)\\leq f_{n+1}(x)$, $n=1,2,\\cdots$. 试证: $\\e^{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\\e^{f(x)}$. (2) 若将 (1) 中条件 (iii) 去掉, 则 $\\e^{f_n(x)}$ 是否还一致收敛, 试证明你的结论. (河北师范大学)

 

5.2.2 设 $\\dps{f_n(x)=\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{n}\\cos \\sex{x+\\frac{k}{n}},\\ n=1,2,\\cdots}$, 证明: 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 上 $\\sed{f_n(x)}$ 一致收敛. (兰州大学)

 

5.2.3 设 $\\dps{f_n(x)=\\frac{\\int_0^x (1-t^2)^n\\rd t}{\\int_0^1 (1-t^2)^n\\rd t}}$, $\\dps{g_n(x)=\\int_0^x f_n(t)\\rd t}$. 试证: (1) $n\\to\\infty$ 时, $$\\bex f_n(x)\\rightrightarrows \\sedd{\\ba{ll} -1,&-1\\leq x\\leq -\\ve,\\\\ 1,&\\ve\\leq x\\leq 1 \\ea}\\quad\\sex{0<\\ve<1}. \\eex$$ (2) $g_n(x)\\rightrightarrows |x|$ 关于 $x\\in[-1,1]$, 当 $n\\to\\infty$ 时.

 

5.2.4 试证级数 $\\dps{\\vsm{n}(-1)^n (1-x)x^n}$ 在区间 $[0,1]$ 上绝对收敛, 一致收敛, 但不是绝对一致收敛.

 

5.2.5 判断级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{(-1)^n}{x+n}}$ 在 $0<x<+\\infty$ 内是否一致收敛.

 

5.2.6 讨论级数 $\\dps{\\vsm{n}x \\e^{-(n-1)x}}$ 关于 $0\\leq x\\leq 1$ 是否一致收敛? (复旦大学)

 

5.2.7 讨论级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{n^2}{\\sex{x+\\frac{1}{n}}^n}}$ 的收敛性和一致收敛性 ($x\\geq 0$). (华东师范大学)

 

5.2.8 讨论级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{x^{2n}}{1+x^{2n+1}}\\ (x\\geq 0)}$ 的一致收敛性. (南京大学)

 

5.2.9 设函数项级数 $\\dps{\\vsm{n}u_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上收敛, 试证: 若对任何 $x\\in [a,b]$, $\\exists\\ \\delta_x>0$, $G_x>0$, 使对任意的 $y\\in (x-\\delta,x+\\delta)\\cap [a,b]$ 与任意的自然数 $n$ 都有 $\\dps{\\sev{\\sum_{k=1}^n u_k\'(y)}\\leq G_x}$, 则 $\\dps{\\vsm{n}u_k(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛. (北京师范大学)

 

5.2.10 设 $b_1\\geq b_2\\geq \\cdots \\geq b_n\\geq 0$. 试证: 级数 $\\dps{\\vsm{n}b_n\\sin nx}$ 在任意区间上一致收敛 $\\lra\\ n\\to\\infty$ 时 $nb_n\\to 0$.

 

5.2.11 试证级数 $\\dps{\\vsm{n} \\frac{x+n(-1)^n}{x^2+n^2}}$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 内闭一致收敛 (即在任何内闭区间 $[a,b]\\subset (-\\infty,+\\infty)$ 上一致收敛).

 

5.2.12 指出级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{\\e^{-nx}}{n}}$ 的收敛区间和一致收敛区间, 并证明之. (兰州大学)

 

5.2.13 指出 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{x^2}{n}\\ln \\sex{\\frac{x^2}{n}+1}}$ 的收敛于一致收敛的范围. (兰州大学)

 

5.2.14 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $$\\bex f_1(x)=f(x),\\quad f_{n+1}(x)=\\int_x^1 f_n(t)\\rd t,\\ \\forall\\ x\\in [0,1],\\ n=1,2,\\cdots. \\eex$$ 求证: $\\dps{\\vsm{n} f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续. (北京航空航天大学)

 

5.2.15 (1) 证明函数列 $\\dps{\\sed{\\sex{1+\\frac{x}{n}}^n;\\ n=1,2,\\cdots}}$ 在 $x\\in [0,1]$ 上对 $n$ 单调增大; (2) 证明 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{(-1)^n (n+x)^n}{n^{n+1}}}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛.

 

5.2.16 试证: 若级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛, 则 Dirichlet 级数 $\\dps{\\sum{n}\\frac{a_n}{n^x}}$ 在 $[0,\\infty)$ 上一致收敛. (陕西师范大学)

 

5.2.17 证明级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{(-1)^{[\\sqrt{n}]}}{\\sqrt{n(n+x)}}}$ 在 $0\\leq x<+\\infty$ 上一致收敛.

 

5.2.18 试证: $\\dps{\\forall\\ \\al:\\ 0<\\al<\\frac{\\pi}{2}}$, 函数项级数 $\\dps{\\vsm{n} x^n\\sex{1-\\frac{2x}{\\pi}}^n \\tan^{2n}x}$ 在 $[0,\\al]$ 上一致收敛. 若记其和函数 $S(x)$, 试证 $\\dps{\\lim_{x\\to \\frac{\\pi}{2}-0} S(x)=+\\infty}$. (北京师范大学)

 

5.2.19 证明: $\\dps{\\vsm{n}(-1)^n \\frac{x^2+n}{n^2}}$ 在任何有穷区间上一致收敛, 而在任何一点都不绝对收敛. (华中科技大学)

 

5.2.20 讨论级数 $\\dps{\\vsm{n}x^n(\\ln x)^2}$ 在 $[0,1]$ 区间上的一致收敛性. (北京大学)

 

5.2.21 设 $g(x)$ 和函数列 $\\sed{f_n(x)}\\ (n=1,2,\\cdots)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 且对任一 $x\\in [a,b]$, $\\dps{\\vlm{n}f_n(x)=g(x)}$, 问能否断定 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(x)$? 论证你的结论. (兰州大学)

 

5.2.22 证明: $\\dps{\\vsm{n}[nxe^{-nx}-(n+1)xe^{-(n+1)x}]}$ 在 $[0,+\\infty)$ 内收敛, 但对任何 $A>0$, 级数在 $[0,A]$ 上不一致收敛, 再证: 上述级数在 $[0,+\\infty)$ 内定义了一个连续函数, 问级数在 $[0,A]\\ (A>0)$ 上可否逐项积分? (南京大学)

 

5.2.23 在 $(0,1)$ 内任取一数列 $\\sed{a_n}$ (各项互不相同), 作级数 $\\dps{\\vsm{n}\\frac{|x-a_k|}{2^k}}$. 证明: (1) 该级数在 $(0,1)$ 内定义一个连续函数 $f(x)$; (2) $f(x)$ 在 $x=a_k\\ (k=1,2,\\cdots)$ 处不可微, 而在 $(0,1)$ 内其他电处均可微. (南京大学)

 

5.2.24 试作 $[0,1]$ 上的连续函数序列 $\\sed{f_n(x)}$, 使之逐点收敛于连续函数 $f(x)$, 但 $$\\bex \\vlm{n} \\int_0^1 f_n(x)\\rd x \\neq \\int_0^1 f(x)\\rd x. \\eex$$ (安徽大学)

 

5.2.25 $n$ 取何值时, (1) $f_n(x)=n^\\al xe^{-nx}\\ (n=1,2,\\cdots)$ 在 $[0,1]$ 上收敛; (2) $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛; (3) $\\dps{\\vlm{n} \\int_0^1 f_n(x)\\rd x}$ 可在积分号下求导?

 

5.2.26 证明级数 $\\dps{\\vsm{n} \\frac{\\ln (1+nx)}{nx^n}}$ 在 $(1,+\\infty)$ 上连续. (西北大学)

 

5.2.27 设  $$\\bee\\label{5.2.27:1} y_{n+1}(x)=\\psi(x)+\\varphi(y_n(x)),\\quad (x\\in\\bbR), \\eee$$ 其中 $\\psi(x)$ 是连续有界函数, $y_0(x)=y_0$, $\\psi(x_0)=y_0-\\varphi(y_0)$, $\\varphi$ 满足 Lipschitz 条件: $$\\bee\\label{5.2.27:2} |\\varphi(y\')-\\varphi(y\'\')|\\leq \\al|y\'-y\'\'|,\\quad (0<\\al<1). \\eee$$ 试证: (1) $\\sed{y_n(x)}$ 在 $\\bbR$ 上一致收敛; (2) 记 $\\dps{y(x)=\\vlm{n}y_n(x)}$, 则 $y(x)$ 连续, 且 $y(x_0)=y_0$; (3) 若 $\\psi(x)$ 一致连续, 则 $y(x)$ 也一致收敛. (武汉大学)

 

5.2.28 设 $f(x)$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 上有任意阶导数 $f^{(n)}(x)$, 且任意区间 $[a,b]$ 上 $f^{(n)}(x) \\rightrightarrows \\phi(x)$ (当 $n\\to+\\infty$ 时), 求证: $\\phi(x)=ce^x$ (其中 $c$ 为常数). (北京大学)

 

5.2.29 设 $\\dps{f(x)=\\vsm{n}(-1)^{n+1} \\frac{\\e^{-nx}}{n}}$. 求 (1) $f$ 的连续范围; (2) $f$ 的可导范围. (北京大学)

 

5.2.30 设 $\\dps{f(x)=\\sum_{n=0}^\\infty 2^{-n}\\cos 2^nx}$, 求 $\\dps{\\lim_{x\\to 0^+} \\frac{f(x)-f(0)}{x}}$. (北京师范大学)

 

5.3.1 对于幂级数 $\\dps{\\vsm{n}\\f{2^n\\ln n}{n}x^n}$, (1) 求出收敛半径; (2) 讨论在收敛域端点上的收敛性; (3) 指出在什么样区间上级数一致收敛. (内蒙古大学)

 

5.3.2 若级数 $\\dps{\\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 有收敛半径 $R_1$, 而级数 $\\dps{\\vsmk{n}{0}b_nx^n}$ 有收敛半径 $R_2$, 则级数 (1) $\\dps{\\vsmk{n}{0}(a_n+b_n)x^n}$; (2) $\\dps{\\vsmk{n}{0}a_nb_nx^n}$ 的收敛半径是怎样的.

 

5.3.3 设 $a_n\\geq 0$, $\\dps{\\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 收敛半径为 $1$, 和函数为 $f(x)$, 若 $\\dps{\\vsmk{n}{0}a_n}$ 发散, 求证: $\\dps{\\vlmc{x}{1^-}f(x)=+\\infty}$.

 

5.3.4 证明: $\\dps{y(x)=\\vsmk{n}{0}\\f{x^{4n}}{(4n)!}}$ 满足 $y^{(4)}=y$. (中国科学院)

 

5.3.5 求极限 $\\dps{\\vlm{n}\\sum_{k=1}^n \\f{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}}$. (四川师范大学)

 

5.3.6 设序列 $\\sed{a_n}_{n=1}^\\infty, \\sed{b_n}_{n=1}^\\infty$ 满足: $a_n>0$, 级数 $\\dps{\\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 当 $|x|<1$ 时收敛, 当 $x=1$ 时发散, 又 $\\dps{\\vlm{n}\\f{b_n}{a_n}=A,\\ (0\\leq A<+\\infty)}$, 证明: $$\\bex \\vlmc{x}{1^-}\\f{ \\dps{\\vsmk{n}{0}b_nx^n}}{\\dps{\\vsmk{n}{0}a_nx^n}}=A.\\qwz{南京大学} \\eex$$

 

5.3.7 设 $\\dps{\\f{v_n}{v_{n-1}}=a\\sqrt{\\f{n-1}{n+1}}\\ n=2,3,\\cdots,\\ |a|<1}$, $$\\bex x_{n+1}=x_n+cv_n^2,\\ n=1,2,\\cdots, c>0. \\eex$$ 求 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$.

 

5.3.8 设 $a_n\\geq 0\\ (n=1,2,\\cdots)$, $\\dps{\\vsm{n}a_nx^n}$ 当 $-1<x<1$ 时收敛并且有上界, 证明: (1) $\\dps{\\vlmc{x}{1^-} \\vsm{n}a_nx^n}$ 存在; (2) $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛; (3) $\\dps{\\vlmc{x}{1^-} \\vsm{n}a_nx^n=\\vsm{n}a_n}$.

 

5.3.9 设 $\\dps{f(x)=\\vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 的收敛半径为 $R=+\\infty$. 令 $\\dps{f_n(x)=\\sum_{k=0}^n a_kx^k}$. 求证: 当 $n\\to+\\infty$ 时, $f(f_n(x))\\rightrightarrows f(f(x))\\ (a\\leq x\\leq b)$.

 

5.3.10 求级数 $\\dps{\\vsm{n}n2^\\f{\\pi}{2}x^{3n-1}}$ 的收敛区间与和函数. (华中师范大学)

 

5.3.11 证明: $$\\bex \\vsm{n}\\f{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)3^n} =\\sqrt{3}\\int_0^\\f{1}{\\sqrt{3}}x\\arctan x\\rd x=\\f{2\\pi\\sqrt{3}-9}{18}.\\qwz{西南师范大学} \\eex$$

 

5.3.12 验证积分 $\\dps{\\int_0^1 \\ln \\f{1+x}{1-x}\\cdot\\f{\\rd x}{x}}$ 存在且等于 $\\dps{2\\vsm{n}\\f{1}{(2n-1)^2}}$. (湘潭大学)

 

5.3.13 试证: $$\\bex \\int_0^x\\f{\\arctan t}{t}\\ln \\f{x}{t}\\rd t =\\vsmk{n}{0}\\f{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)^2}\\qx{|x|\\leq 1}\\quad\\qwz{四川大学} \\eex$$

 

5.3.14 证明: $\\dps{A=\\int_0^1 \\f{\\ln x}{1-x^2}\\rd x}$, $\\dps{B=\\int_0^1 \\f{\\ln x}{1-x}\\rd x}$, $\\dps{C=\\int_0^1 \\f{\\ln x}{1+x}\\rd x}$ 收敛, 并求其值.

 

5.3.15 设幂级数 $\\dps{\\vsm{n}a_nx^n}$ 的收敛半径大于 $0$, 证明: (1) $\\dps{\\vlmc{x}{0}\\vsm{n}a_nx^n=0}$; (2) 如果 $a_1\\neq 0$, 并且在原点的一个邻域里, $\\dps{\\sev{\\vsm{n}a_nx^n}\\geq |a_1||x|-2x^2}$ 逐点成立, 那么 $|a_2|\\leq 2$. (厦门大学)

 

5.4.1 设 $\\dps{\\f{a_0}{2}+\\vsm{k}(a_k\\cos kx+b_k\\sin kx)}$ 在 $[-\\pi,\\pi]$ 上一致收敛, 试证它必是 $[-\\pi,\\pi]$ 上其和函数的 Fourier 级数. (西北师范大学)

 

5.4.2 设 $\\dps{f(x)=\\seddm{ 0,&-\\pi\\leq x<0,\\\\ 1,&0\\leq x\\leq \\pi, }}$ (1) 求 $f(x)$ 的 Fourier 级数; (2) 这级数收敛吗? 收敛于 $f(x)$ 吗? 为什么? (3) 这级数在区间 $(-\\pi,\\pi)$ 里一致收敛吗? 为什么? (厦门大学)

 

5.4.3 已知 $f$ 是以 $2\\pi$ 为周期的可积函数, 它的 Fourier 系数为 $a_n,b_n\\ (n\\geq 0)$, 求函数 $\\dps{f_h(x)=\\f{1}{h}\\int_{x-h}^{x+h}f(\\xi)\\rd \\xi\\ (h\\neq 0)}$ 的 Fourier 系数 $A_n,B_n\\ (n\\geq 0)$. (西北师范大学, 合肥工业大学)

 

5.4.4 试将 $f(x)=-\\pi-x$ 在 $(-\\pi,0)$ 内展开成正弦级数, 并判断此级数在 $(-\\pi,0)$ 是否一致收敛. (河北师范大学)

 

5.4.5 试将周期函数 $f(x)=\\arcsin (\\sin x)$ 展成 Fourier 级数. (哈尔滨工业大学)

 

5.4.6 已知 $\\dps{f(x)=\\f{\\pi}{2}\\f{\\e^x+\\e^{-x}}{\\e^\\pi-\\e^{-\\pi}}}$, (1) 在 $[-\\pi,\\pi]$ 上将 $f(x)$ 展开成 Fourier 级数; (2) 求级数 $\\dps{\\vsm{n}\\f{(-1)^n}{1+(2n)^2}}$ 之和. (天津大学)

 

5.4.7 设 $f(x)$ 是以 $2\\pi$ 为周期的周期函数, 且 $f(x)=x,\\ -\\pi<x<\\pi$, 求 $f(x)$ 与 $|f(x)|$ 的 Fourier 级数, 它们的 Fourier 级数是否一致收敛 (给出证明)? (北京大学)

 

5.4.8 在 $[0,\\pi]$ 上展开 $f(x)=x+\\cos x$ 为余弦级数. (华中理工大学)

 

5.4.9 试利用练习 5.4.2 的结果, 求出 $g(x)=\\sgn x$, $h(x)=|x|$ 在 $(-\\pi,\\pi)$ 上的 Fourier 展开式.

 

5.4.10 设 $\\dps{f(x)=x,\\ x\\in \\sez{0,\\f{\\pi}{2}}}$, 试将 $f(x)$ 展成 $\\dps{\\vsm{n}b_{2n-1} \\sin (2n-1)x}$ 型的三角级数.

 

5.4.11 设 $f(x)$ 以 $2\\pi$ 为周期, $[-\\pi,\\pi]$ 上可积, $a_n,b_n$ 是它的 Fourier 系数. 试证: (1) $\\dps{f(-x)=f(x),\\ f(\\pi-x)=-f(x)\\ra \\seddm{ b_n=0,&(n=1,2,\\cdots),\\\\ a_{2n}=0,&(n=0,1,2,\\cdots); }}$ (2) $\\dps{f(-x)=f(x),\\ f(\\pi-x)=f(x)\\ra \\seddm{ b_n=0,&(n=1,2,\\cdots),\\\\ a_{2n-1}=0,&(n=1,2,\\cdots); }}$ (3) $\\dps{f(-x)=-f(x),\\ f(\\pi-x)=-f(x)\\ra \\seddm{ a_n=0,&(n=0,1,2,\\cdots),\\\\ b_{2n-1}=0,&(n=1,2,\\cdots); }}$ (4) $\\dps{f(-x)=-f(x),\\ f(\\pi-x)=f(x)\\ra \\seddm{ a_n=0,&(n=0,1,2,\\cdots),\\\\ b_{2n}=0,&(n=1,2,\\cdots). }}$

 

5.4.12 求下列函数在指定区间上的 Fourier 级数: (1) $\\dps{f(x)=\\seddm{ x,&x\\in [0,\\pi]\\\\ 2,&x\\in [-\\pi,0) }}$, 于 $[-\\pi,\\pi]$ 上; (中山大学)

 

5.4.13 求函数 $\\dps{f(x)=\\ln\\sex{2\\cos \\f{x}{2}}}$ 在 $(-\\pi,\\pi)$ 里的 Fourier 级数展开式.

 

5.4.14 证明级数 $\\dps{\\vsm{n}\\f{\\sin nx}{\\ln (n+1)}}$ 不可能是某个可积函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数.

 

5.4.15 写出 $\\dps{f(x)=\\seddm{ 1,&|x|\\leq \\al\\\\ 0,&\\al<|x|\\leq \\pi }}$ 的 Fourier 级数, 并根据 Parseval 等式求和 (1) $\\dps{\\vsm{n}\\f{\\sin^2n\\al}{n^2}}$; (2) $\\dps{\\vsm{n}\\f{\\cos^2n\\al}{n^2}}$ (已知 $\\dps{\\vsm{n}\\f{1}{n^2}=\\f{\\pi^2}{6}}$).

 

5.4.16 设 $f(x)$ 是以 $2\\pi$ 为周期的函数, 在 $[-\\pi,\\pi]$ 上可积, 则已知它的 Fourier 级数的部分和 $S_n(x)$ 可表示为 Dirichlet 积分 $$\\bex S_n(x)=\\f{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^\\pi f(x+t)\\f{\\sin\\sex{n+\\f{1}{2}}t}{2\\sin \\f{t}{2}}\\rd t, \\eex$$ 其中 $$\\bex \\f{\\sin\\sex{n+\\f{1}{2}}t}{2\\sin \\f{t}{2}} =\\f{1}{2}+\\cos t+\\cos 2t+\\cdots+\\cos nt\\equiv D_n(t) \\eex$$ 称为 Dirichlet 核. $S_n(x)$ 的平均值 $$\\bex \\si_n(x)=\\f{1}{n} \\sum_{i=0}^{n-1}S_k(x) \\eex$$ 称为 Ces\\\'aro 和. 试证: (1) $\\dps{D_0(x)+\\cdots+D_{n-1}(x)=\\f{1}{2}\\sex{\\f{\\sin \\f{n}{2}x}{\\sin \\f{x}{2}}}^2}$; (2) $\\dps{\\f{1}{2n\\pi}\\int_{-\\pi}^\\pi \\sex{\\f{\\sin \\f{n}{2}x}{\\sin \\f{x}{2}}}^2 }$ $\\rd x=1$; (3) $\\dps{\\forall\\ \\del>0,\\ \\f{1}{n\\pi}\\int_{\\del}^\\pi \\sex{\\f{\\sin \\f{n}{2}x}{\\sin \\f{x}{2}}}^2\\rd x\\to 0\\ (n\\to\\infty)}$; (4) 若 $f$ 是以 $2\\pi$ 为周期的连续函数, 则 $n\\to\\infty$ 时, $\\sigma_n(x) \\rightrightarrows f(x)$ 于 $[-\\pi,\\pi]$ 上.

 

5.4.17 设 $f(x)$ 是以 $2\\pi$ 为周期的连续函数, $S_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 Fourier 级数的部分和, $$\\bex g_n(x)\\equiv \\int_{-\\pi}^\\pi \\f{\\cos (x-u)}{\\sqrt{1+\\sin^2(x+u)}}S_n(u)\\rd u. \\eex$$ 试证: (1) 存在与 $x,n$ 无关的数 $K$, 使得 $|g_n(x)|\\leq K\\ (x\\in [-\\pi,\\pi])$; (2) 当 $n\\to\\infty$ 时, $\\dps{g_n(x) \\rightrightarrows \\int_{-\\pi}^\\pi \\f{\\cos (x-u)}{\\sqrt{1+\\sin^2(x+u)}}f(u)\\rd u}$.

 

5.4.18 设 $T_n(x)$ 为 $n$ 阶三角多形式如下: $$\\bee\\label{5.4.18:eq} T_n(x)\\equiv \\f{\\al_0}{2}+\\sum_{k=1}^n (\\al_k\\cos kx+\\be_k\\sin kx). \\eee$$ 试证: (1) $\\dps{\\max_{-\\pi\\leq x\\leq \\pi}|T_n\'(x)| \\leq n^2\\max_{-\\pi\\leq x\\leq \\pi}|T_n(x)|}$; (2) 若 $\\al_{n-1}=1$, 则 $\\dps{\\max_{-\\pi\\leq x\\leq \\pi}|T_n(x)|\\geq \\f{\\pi}{4}}$.