裴礼文数学分析中的典型问题与方法第1章一元函数极限练习

Posted 2020-09-16 张祖锦的数学博客

参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html

 

1.1.1 求复合函数表达式: (1) 已知 $f(x)=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^2}}$, 设 $f_n(x)=f\\sed{f\\sez{\\cdots (f(x))\\cdots}}$ ($n$ 个 $f$). 求 $f_n(x)$. (南京邮电大学等) (2) 设 $f(x)=\\frac{x}{x-1}$, 试证明 $f\\sez{f(x)}=x$, 并求 $f\\sez{\\frac{1}{f(x)}}$.

 

1.1.2 是否存在这样的函数, 它在区间 $[0,1]$ 上每点取有限值, 在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)

 

1.1.3 试说明能有无穷多个函数, 其中每个函数 $f$, 皆使得 $f\\circ f$ 为 $\\bbR$ 上的恒等函数.

 

1.1.4 设 $f$ 为 $\\bbR$ 上的奇函数, $f(1)=a$, $f(x+2)-f(x)=f(2)$, $\\forall\\ x\\in\\bbR$. (1) 试用 $a$ 表达 $f(2)$ 和 $f(5)$; (2) $a$ 为何值时, $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数. (清华大学)

 

1.1.5 设 $f(x)=x-[x]$ (即 $x$ 的小数部分), $g(x)=\\tan x$, 说明这时 $f(x)-g(x)$ 为何不是周期函数. 类似地 $f(x)+g(x)$ 也如此. 从而周期函数的和与差未必是周期函数.

 

1.1.6 (双镜效应) 设 $f$ 是 $\\bbR$ 上的实函数, $f$ 的图像以直线 $x=b$ 和 $x=c\\ (b\\neq c)$ 分别作为其对称轴. 试证 $f$ 必为周期函数, 且周期为 $2|b-c|$.

 

1.1.7 设 $f$ 是 $\\bbR$ 上的奇函数, 并且以直线 $x=a\\ (a\\neq 0)$ 作为对称轴, 试证 $f$ 必为周期函数并求其周期.

 

1.1.8 设 $f(x)$ 是 $\\bbR$ 上以 $T$ 为周期的周期函数 ($T>0)$, 且 $f$ 在 $[0,T]$ 上严格单调, 试证 $f(x^2)$ 不可能是周期函数.

 

1.1.9 证明确界的关系式: (1) 叙述数集 $A$ 的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列 $\\sed{x_n}$, $\\sed{y_n}$, 总有 $$\\bex \\sup\\sed{x_n+y_n}\\leq \\sup\\sed{x_n}+\\sup\\sed{y_n};\\qwz{北京科技大学} \\eex$$ (2) 设 $A,B$ 是两个由非负数组成的任何数集, 试证 $$\\bex \\sup_{x\\in A}x\\cdot \\sup_{y\\in B}y=\\sup_{x\\in A\\atop y\\in B}xy. \\eex$$

 

1.1.10 试证: 若 $x_n\\to+\\infty\\ (n\\to\\infty)$, 则 $\\sed{x_n}$ 必达到下确界 (即存在 $m\\in \\bbN$, 使得 $x_m=\\inf \\sed{x_n}$). (武汉大学)

 

1.1.11 设 $f,g$ 是 $\\bbR$ 上的实函数, 且 $$\\bex f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\\quad \\forall\\ x,y\\in\\bbR. \\eex$$ 在 $\\bbR$ 上 $f(x)$ 不恒等于零, 但有界. 试证: $|g(y)|\\leq 1\\ (\\forall\\ y\\in\\bbR)$.

 

1.1.12 设 $f$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的增函数 (指 $\\forall\\ x_1<x_2: a\\leq x_1<x_2\\leq b$, 有 $f(x_1)\\leq f(x_2)$) (但不一定连续), 如果 $f(a)\\geq a$, $f(b)\\leq b$, 试证: $$\\bex \\exists\\ x_0\\in [a,b],\\st f(x_0)=x_0.\\qwz{山东大学} \\eex$$

 

1.1.13 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $\\exists\\ x_0\\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学)

 

1.2.1 (1). 已知 $\\dps{\\vlm{n}x_n=a}$, 求证: $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt[3]{x_n}=\\sqrt[3]{a};}$ (武汉大学, 哈尔滨工业大大学) (2). 用 $\\ve-\\delta$ 语言证明 $\\dps{\\lim_{x\\to 1}\\frac{1}{x}=1}$. (清华大学)

 

1.2.2 用 $\\ve-N$ 方法证明: 1) $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt[n]{n}=1}$; 2) $\\dps{\\vlm{n} n^3q^n=0}$ ($|q|<1$); 3) $\\dps{\\vlm{n}\\frac{\\ln n}{n^2}=0}$.

 

1.2.3 设 $\\dps{\\vlm{n}a_n=a}$, 试用 $\\ve-N$ 方法证明: 若 $$\\bex x_n=\\frac{a_1+2a_2+\\cdots+na_n}{1+2+\\cdots+n}, \\eex$$ 则 $\\dps{\\vlm{n}x_n=a}$.

 

1.2.4 设 $\\dps{x_n=\\sum_{k=2}^n \\frac{\\cos k}{k(k-1)}}$, 试证 $\\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.2.5 设 $\\sed{a_n}$ 是一个数列. 试证: 若 $$\\bex \\vlm{n}\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}=a\\qwz{为有限数}, \\eex$$ 则 $\\dps{\\vlm{n}\\frac{a_n}{n}=0}$. (首都师范大学)

 

1.2.6 设 $a_n>0\\ (n=1,2,\\cdots)$ 且 $\\exists\\ C>0, m<n$ 时, $a_n\\leq Ca_m$. 已知 $\\sed{a_n}$ 中存在子序列 $\\sed{a_{n_k}}\\to 0$. 试证: $\\dps{\\vlm{n}a_n=0}$. (武汉大学)

 

1.2.7 设 $\\dps{x_n=1+\\f{1}{\\sqrt{2}}+\\f{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots+\\f{1}{\\sqrt{n}} }$, 求证 $\\sed{x_n}$ 发散.

 

1.2.8 判断题: 设 $\\sed{a_n}$ 是一个数列, 若在任一子序列 $\\sed{a_{n_k}}$ 中均存在收敛的子列 $\\sed{a_{n_{k_r}}}$, 则 $\\sed{a_n}$ 必为收敛数列. (北京大学)

 

1.2.9 设 $\\sed{a_n}$ 为单调递增数列, $\\sed{a_{n_k}}\\subset \\sed{a_n}$ 为其一个子列, 若 $\\dps{\\vlm{k}a_{n_k}=a}$, 试证 $\\dps{\\vlm{n}a_n=a}$. (华中师范大学)

 

1.2.10 设 $\\sed{x_n}$ 是一个无界数列, 但非无穷大量, 证明: 存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)

 

1.2.11 设函数 $f(x),g(x)$ 在 $0$ 的某个邻域里有定义 $g(x)>0$, $\\dps{\\lim_{x\\to 0}\\f{f(x)}{g(x)}=1}$; 且当 $n\\to\\infty$ 时, $\\al_{mn}\\rightrightarrows 0\\ (m=1,2,\\cdots,n)$, 亦即 $\\forall\\ \\ve>0,\\ \\exists\\ N(\\ve)>0,$ 当 $n>N(\\ve)$ 时, 一切 $m=1,2,\\cdots,n$, 都有 $|\\al_{mn}|<\\ve$; 另设 $\\al_{mn}\\neq 0$. 试证 $$\\bee\\label{1.2.11:eq} \\vlm{n}\\sum_{m=1}^n f(\\al_{mn}) =\\vlm{n}\\sum_{m=1}^n g(\\al_{mn}), \\eee$$ 当右端极限存在时成立.

 

1.2.12 证明 $$\\bex \\vlm{n}\\sum_{i=1}^n \\sex{\\sqrt[3]{1+\\f{i}{n^2}}-1} =\\vlm{n}\\sum_{i=1}^n \\f{i}{3n^2}=\\f{1}{6}. \\eex$$ 并求 $$\\bex \\vlm{n}\\prod_{i=1}^n a^{\\sqrt[3]{1+\\f{i}{n^2}}-1}\\ (a>0). \\eex$$

 

1.3.1 求极限 $$\\bex \\vlm{n}\\sex{1-\\f{1}{2^2}}\\sex{1-\\f{1}{3^2}}\\cdots\\sex{1-\\f{1}{n^2}}. \\eex$$ (北京航空航天大学, 中国科学技术大学)

 

1.3.2 证明 Vieta 公式: $$\\bee\\label{1.3.2:eq} \\f{2}{\\pi} =\\sqrt{\\f{1}{2}}\\cdot \\sqrt{\\f{1}{2}+\\f{1}{2}\\sqrt{\\f{1}{2}}}\\cdot \\sqrt{\\f{1}{2}+\\sqrt{\\f{1}{2}+\\f{1}{2}\\sqrt{\\f{1}{2}}}} \\cdots. \\eee$$

 

1.3.3 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\f{\\sqrt[n]{a}+\\sqrt[n]{b}+\\sqrt[n]{c}}{3}}^n }$ ($a,b,c>0$). (东北师范大学)

 

1.3.4 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\cos\\f{x}{n}+\\lm \\sin \\f{x}{n}}^n}$ ($x\\neq 0$).

 

1.3.5 求 $\\dps{\\lim_{x\\to 0^+}\\sqrt[x]{\\cos \\sqrt{x}}}$.

 

1.3.6 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\f{1}{n^2+n+1}+\\f{2}{n^2+n+2} +\\cdots+\\f{n}{n^2+n+n}}}$. (华中师范大学)

 

1.3.7 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{ \\f{1}{\\sqrt{n^2-1}} -\\f{1}{\\sqrt{n^2-2}} -\\cdots-\\f{1}{\\sqrt{n^2-n}}}}$. (湖北大学)

 

1.3.8 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续. 求 $$\\bex \\lim_{x\\to 0}\\f{\\sqrt[3]{1+f(x)\\sin x}-1}{3^x-1}. \\eex$$ (华中师范大学)

 

1.3.9 设极限 $\\dps{\\vlm{n}(a_1+a_2+\\cdots+a_n)}$ 存在, 试求 1) $\\dps{\\vlm{n}\\f{1}{n}(a_1+2a_2+\\cdots+na_n)}$; 2) $\\dps{\\vlm{n}(n!a_1\\cdot a_2\\cdot\\cdots\\cdot a_n)^\\f{1}{n}}$.

 

1.3.10 设 $A=\\max\\sed{a_1,a_2,\\cdots,a_m},\\ a_k>0\\ (k=1,2,\\cdots,m)$, 求 $$\\bex \\vlm{n}\\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\\cdots+a_m^n}. \\eex$$ (陕西师范大学)

 

1.3.11 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt[n]{1+2^n\\sin^nx}}$. (内蒙古大学)

 

1.3.12 求 $\\dps{\\lim_{x\\to 0}\\f{x-\\int_0^x e^{t^2}\\rd t}{x^2\\sin 2x}}$. (中国科学院)

 

1.3.13 计算 $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}\\sex{\\f{1}{x}\\cdot \\f{a^x-1}{a-1}}^\\f{1}{x}}$\\ ($a>0,\\ a\\neq 1$). (中国科学院)

 

1.3.14 若 $\\dps{f(x)=\\seddm{ \\f{1-\\cos x}{x^2},&x<0\\\\ 5,&x=0\\\\ \\f{\\int_0^x \\cos t^2\\rd t}{x},&x>0 }}$. 求 $\\dps{\\lim_{x\\to 0}f(x)}$. (上海工业大学)

 

1.3.15 求 $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}\\sex{\\sqrt[6]{x^6+x^5}-\\sqrt[6]{x^6-x^5}}}$. (华中师范大学)

 

1.3.16 证明: 当 $0<k<1$ 时, $$\\bex \\vlm{n}[(n+1)^k-n^k]=0. \\eex$$

 

1.3.17 $\\dps{\\lim_{x\\to 1}(2-x)^{\\tan \\f{\\pi x}{2}}}$. (浙江大学)

 

1.3.18 已知 $\\dps{\\lim_{x\\to 2}\\f{x^2+ax+b}{x^2-x-2}=2}$, 求 $a,b$. (国防科技大学)

 

1.3.19 $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}x^\\f{7}{4}\\sex{\\sqrt[4]{x+1}+\\sqrt[4]{x-1}-2\\sqrt[4]{x} }}$. (华中师范大学)

 

1.3.20 求 $\\dps{\\lim_{x\\to+\\infty}(\\sin \\sqrt{x+1}-\\sin \\sqrt{x})}$. (武汉大学)

 

1.3.21 设 $f$ 是 $\\bbR$ 上的可微函数, $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}f\'(x)=A>0}$, 试证: $$\\bex \\lim_{x\\to +\\infty}f(x)=+\\infty. \\eex$$

 

1.3.22 设 $f$ 是 $\\bbR$ 上的可微函数, $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}f\'(x)=0}$, 试证: $\\dps{\\lim_{x\\to +\\infty}\\f{f(x)}{x}=0}$.

 

1.3.23 $x_n>0$, $\\dps{\\vlm{n}x_n=0}$, 试证: 1) $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\prod_{k=1}^n x_k}^\\f{1}{n}=0}$; 2) $\\dps{\\vlm{n}\\sup_{k\\geq 1}\\sex{\\prod_{i=1}^n x_{i+k}}^\\f{1}{n}=0}$.

 

1.3.24 对 $a_1\\geq a_2\\geq\\cdots\\geq a_n>0$, $p_1>p_2>\\cdots>p_n$, $p_1+p_2+\\cdots+p_n=1$, 令 $$\\bex F(x)=\\sex{p_1a_1^x+p_2a_2^x+\\cdots+p_na_n^x}^\\f{1}{x}, \\eex$$ 试先证明: 1) $a_n\\leq F(x)\\leq a_1$; 2) $\\dps{\\lim_{x\\to 0^+}F(x)=a_1^{p_1}a_2^{p_2}\\cdots a_n^{p_n}}$. 然后求 $\\dps{\\lim_{x\\to \\pm \\infty}F(x)}$.

 

1.4.1 求 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$, 其中 1) 设 $x_n=\\sqrt[n]{n}$; 2) 设 $\\dps{x_n=\\f{1}{\\sqrt[n]{n!}}}$.

 

1.4.2 求 $\\dps{\\vlm{n}\\f{1+\\sqrt{2}+\\sqrt[3]{3}+\\cdots+\\sqrt[n]{n}}{n} }$. (华中师范大学)

 

1.4.3 已知数列 $\\sed{x_n}$ 满足条件 $\\dps{\\vlm{n}(x_n-x_{n-2})=0}$, 证明: $\\dps{\\vlm{n}\\f{x_n-x_{n-1}}{n}=0}$. (四川大学, 国防科技大学)

 

1.4.4 设 $\\dps{\\vlm{n}x_n=a}$. 1) 若 $a$ 为有限数, 证明: $\\dps{\\vlm{n} \\f{x_1+2x_2+\\cdots+nx_n}{n(n+1)}=\\f{a}{2}}$; 2) 若 $a$ 为 $+\\infty$, 证明: $\\dps{\\vlm{n} \\f{x_1+2x_2+\\cdots+nx_n}{n(n+1)}=+\\infty}$. (南京大学)

 

1.4.5 证明: 若数列 $\\sed{a_n}$ 收敛于 $a$, 且 $\\dps{\\vlm{n}\\sum_{k=1}^n p_k=\\infty}$, $p_k\\geq 0\\ (k=1,2,\\cdots)$, 则 $$\\bex \\vlm{n}\\f{\\sum_{k=1}^n p_ka_k}{\\sum_{k=1}^n p_k}=a.\\qwz{东北师范大学} \\eex$$

 

1.4.6 已知 $\\dps{\\vlm{n}\\sum_{k=1}^na_k}$ 存在, $\\sed{p_k}$ 为单调增加的正数列, 且 $\\dps{\\vlm{n}p_n=+\\infty}$, $p_{n+1}\\neq p_n\\ (n=1,2,\\cdots)$, 求证: $$\\bex \\vlm{n}\\f{p_1a_1+p_2a_2+\\cdots+p_na_n}{p_n}=0.\\qwz{北京师范大学} \\eex$$

 

1.4.7 若 $0<\\lm<1$, $a_n>0$, 且 $\\dps{\\vlm{n}a_n=a}$, 试证: $$\\bex \\vlm{n}(a_n+\\lm a_{n-1}+\\lm^2a_{n-2}+\\cdots+\\lm^na_0)=\\f{a}{1-\\lm}. \\eex$$

 

1.4.8 求极限 1) $\\dps{\\vlm{n}\\f{1^k+2^k+\\cdots+n^k}{n^{k+1}}}$; 2) $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\f{1^k+2^k+\\cdots+n^k}{n^{k}} -\\f{n}{k+1}}}$.

 

1.5.1 已知 $$\\bex a_1=\\sqrt{6},\\quad a_n=\\sqrt{6+a_{n-1}}\\ (n=2,3,\\cdots). \\eex$$ 试证: $\\dps{\\vlm{n}a_n}$ 存在, 并求其值. (中国科技大学, 北京大学, 哈尔滨工业大学, 北京邮电大学等)

 

1.5.2 设 $$\\bex x_1=1,\\quad x_{n+1}=\\f{1+2x_n}{1+x_n}\\ (n=1,2,\\cdots). \\eex$$ 证明: $\\sed{x_n}$ 收敛, 并求 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$. (哈尔滨工业大学, 华中理工大学等)

 

1.5.3 设 $$\\bex 0<c<1,\\quad a_1=\\f{c}{2},\\quad a_{n+1}=\\f{c}{2}+\\f{a_n^2}{2}. \\eex$$ 证明: $\\sed{a_n}$ 收敛, 并求其极限. (武汉大学, 华中师范大学)

 

1.5.4 设 $$\\bex a>0,\\quad 0<x_1<a,\\quad x_{n+1}=x_n\\sex{2-\\f{x_n}{a}}\\ (n=1,2,\\cdots). \\eex$$ 证明 $\\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (华东师范大学)

 

1.5.5 设 $$\\bex x_1=a>0,\\quad x_{n+1}=\\f{1}{2}\\sex{x_n+\\f{a}{x_n}}. \\eex$$ 试证 $\\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (华中理工大学, 厦门大学, 工程兵学院)

 

1.5.6 $y_{n+1}=y_n(2-y_n),\\ 0<y_0<1$. 求证: $\\dps{\\vlm{n}y_n=1}$. (武汉大学)

 

1.5.7 证明: 1) 存在唯一的 $c\\in (0,1)$ 使得 $c=e^{-c}$; 2) 任给 $x_1\\in (0,1)$, 定义 $x_{n+1}=e^{-x_n}$, 则有 $\\dps{\\vlm{n}x_n=c}$. (中国人民大学)

 

1.5.8 设 $\\dps{x_{n+1}=1+\\f{x_n^2}{1+x_n^2}, x_1=2}$. 证明数列 $\\sed{x_n}$ 收敛. (北京师范大学)

 

1.5.9 设 $$\\bex x_0>0,\\quad x_{n+1}=2+\\f{1}{\\sqrt{x_n}}. \\eex$$ 求 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$. (武汉大学)

 

1.5.10 设 $\\dps{f(x)=\\f{x+2}{x+1}}$, 数列 $\\sed{x_n}$ 由如下递推公式定义: $$\\bex x_0=1,\\quad x_{n+1}=f(x_n)\\ (n=0,1,2,\\cdots). \\eex$$ 求极限 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$. (浙江大学)

 

1.5.11 设 $$\\bex u_1=3,\\quad u_2=3+\\f{4}{3},\\quad u_3=3+\\f{4}{3+\\f{4}{3}},\\cdots. \\eex$$ 如果数列 $\\sed{u_n}$ 收敛, 计算其极限, 并证明数列 $\\sed{u_n}$ 收敛于上述极限. (武汉大学)

 

1.5.12 设 $$\\bex x_0=m,\\quad x_1=m+\\ve \\sin x_0,\\ x_n=m+\\ve \\sin x_{n-1}\\ (n=2,3,\\cdots), \\eex$$ 其中 $0<\\ve<1$. 试证: $\\dps{\\vlm{n}x_n=\\xi}$ 存在且为克普勒方程 $x-\\ve \\sin x=m$ 的唯一唯一根.

 

1.5.13 设 $|x_{n+2}-x_{n+1}|\\leq k|x_n-x_{n-1}|\\ (0<k<1)$, 试证: $\\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.5.14 设 $a_1,b_1$ 是二正数, 令 $$\\bex a_{n+1}=\\sqrt{a_nb_n},\\quad b_{n+1}=\\f{a_n+b_n}{2}. \\eex$$ 试证: $\\sed{a_n}$ 和 $\\sed{b_n}$ 均收敛, 且 $\\dps{\\vlm{n}a_n=\\vlm{n}b_n}$. (大连理工大学)

 

1.5.15 设 $a_1$ 和 $b_1$ 是任意两个正数, 并且 $a_1\\leq b_1$, 还设 $$\\bex a_n=\\f{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}},\\quad b_n=\\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}\\ (n=2,3,\\cdots). \\eex$$ 求证: $\\sed{a_n},\\sed{b_n}$ 均收敛, 且极限相同. (中国科学院, 安徽大学)

 

1.5.16 讨论由 $x_1=a, x_n=px_{n-1}+q$ ($p>0$) 所定义的数列的收敛性. (南京大学)

 

1.5.17 设 $\\bbR$ 中数列 $\\sed{a_n},\\sed{b_n}$ 满足 $$\\bex a_{n+1}=b_n-qa_n\\ (n=1,2,\\cdots), \\eex$$ 其中 $0<q<1$. 证明: 当 $\\sed{b_n}$ 有界时, $\\sed{a_n}$ 有界. (清华大学)

 

1.5.18 设 $x_0=1, x_1=e, x_{n+1}=\\sqrt{x_nx_{n-1}}\\ (n\\geq 1)$, 求极限 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$.

 

1.5.19 设 $\\dps{a_{n+1}=a_n+a_n^{-1}\\ (n>1),\\ a_1=1}$, 则 1) $\\dps{\\lim_{n\\to\\infty}a_n=+\\infty}$; 2) $\\dps{\\sum_{n=1}^\\infty a_n^{-1}=+\\infty}$. (中国科学院)

 

1.5.20 设连续函数 $f(x)$ 在 $[1,\\infty)$ 上是正的, 单调递减的, 且 $$\\bex d_n=\\sum_{k=1}^n f(k)-\\int_1^n f(x)\\rd x. \\eex$$ 试证: 数列 $d_1,d_2,\\cdots$ 收敛. (清华大学)

 

1.5.21 已知 $a_1=\\al$, $b_1=\\be$ $(\\al>\\be$), $$\\bex a_{n+1}=\\f{a_n+b_n}{2},\\quad b_{n+1}=\\f{a_{n+1}+b_n}{2}\\quad(n=1,2,\\cdots). \\eex$$ 证明: $\\dps{\\vlm{n}a_n}$ 及 $\\dps{\\vlm{n}b_n}$ 存在且相等, 并求出极限值. (内蒙古大学)

 

1.5.22 证明: 数列 $$\\bex x_0>0,\\quad x_{n+1}=\\f{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}\\ (a\\geq 0) \\eex$$ 的极限存在, 并求其极限. (国外赛题)

 

1.5.23 设 $\\sed{x_n}$ 是如此数列: $$\\bex x_0=25,\\quad x_n=\\arctan x_{n-1}\\ (n=1,2,\\cdots). \\eex$$ 证明 $\\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (国外赛题)

 

1.5.24 设 $$\\bex S_1=\\ln a\\ (a>1);\\quad S_n=\\sum_{k=1}^{n-1}\\ln(a-S_k)\\ (n=2,3,\\cdots). \\eex$$ 求 $\\dps{\\vlm{n}S_n}$.

 

1.5.25 设 $x_1>0$, $x_{n+1}=\\ln (1+x_n)$. 证明 $x_n\\to 0$ 且 $\\dps{x_n\\sim \\f{2}{n}}$ (当 $n\\to\\infty$ 时).

 

1.5.26 设 $a_1=1$, $a_k=k(a_{k-1}+1)$. 试计算: $$\\bex \\vlm{n}\\prod_{k=1}^n \\sex{1+\\f{1}{a_k}}.\\qwz{国外赛题} \\eex$$

 

1.5.27 设正项级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 收敛, 数列 $\\sed{y_n}$ 由下式确定: $$\\bex y_1=1,\\quad 2y_{n+1}=y_n+\\sqrt{y_n^2+a_n}\\ (n=1,2,\\cdots). \\eex$$ 证明 $\\sed{y_n}$ 是递增的收敛数列. (福建师范大学)

 

1.6.1 用不同的方法证明以下不等式: 1) $$\\beex\\bea \\vli{n}x_n+\\vli{n}y_n&\\leq \\vli{n}(x_n+y_n) \\leq \\vli{n}x_n+\\vls{n}y_n\\\\ & \\leq \\vls{n}(x_n+y_n) \\leq \\vls{n}x_n+\\vls{n}y_n \\eea\\eeex$$ 在不出现 $(\\pm \\infty)+(\\mp\\infty)$ 的情况下成立. 2) 设 $x_n>0,\\ y_n>0$ $(n=1,2,\\cdots)$, 则 $$\\beex\\bea \\vli{n}x_n \\cdot \\vli{n}y_n&\\leq \\vli{n}(x_n\\cdot y_n) \\leq \\vli{n}x_n\\cdot \\vls{n}y_n\\\\ & \\leq \\vls{n}(x_n \\cdot y_n)\\leq \\vls{n}x_n\\cdot \\vls{n}y_n \\eea\\eeex$$ 在不出现 $0\\cdot (+\\infty)$ 的情况下成立.

 

1.6.2 证明: 1) $\\dps{\\vli{n}x_n-\\vls{n}y_n \\leq \\vls{n}(x_n-y_n) \\leq \\vls{n}x_n-\\vli{n}y_n}$; 2) 若 $x_n>0, y_n>0$ 且 $\\dps{\\vli{n}y_n>0}$, 则 $$\\bex \\vli{n}x_n/\\vls{n}y_n \\leq \\vls{n}(x_n/y_n)\\leq \\vls{n}x_n/\\vli{n}y_n. \\eex$$

 

1.6.3 证明: 若 $x_n>0$\\ ($n=1,2,\\cdots)$ 及 $$\\bex \\vls{n}x_n \\cdot \\vls{n}\\frac{1}{x_n}=1. \\eex$$ 则序列 $\\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.6.4 设 $x_n>0\\ (n=1,2,\\cdots)$, 试证: $$\\bex \\vli{n}\\f{x_{n+1}}{x_n} \\leq \\vli{n}\\sqrt[n]{x_n} \\leq \\vls{n}\\sqrt[n]{x_n} \\leq \\vls{n}\\f{x_{n+1}}{x_n}. \\eex$$ 并由此推出, 当 $\\dps{\\vlm{n}\\f{x_{n+1}}{x_n}=l}$ 时, 则 $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt[n]{x_n}=1}$.

 

1.6.5 试证: 若 $\\dps{\\vls{n}\\sqrt[n]{|a_n|}=A}$, 则对任意固定的整数 $n_0$ 都有 $$\\bex \\vls{n}\\sqrt[n]{|a_{n_0+n}|}=a.\\qwz{北京理工大学} \\eex$$

 

1.6.6 证明: 若 $\\dps{\\vls{n}c_n\\leq c}$, 则 $$\\bex \\vls{n}\\f{c_n}{1+|c_n|}\\leq \\f{c}{1+|c|}. \\eex$$

 

1.6.7 给定正数列 $\\sed{a_n}$, 证明 $$\\bex \\vls{n} \\sex{\\f{a_1+a_{n+1}}{a_n}}^n \\geq \\e.\\qwz{国外赛题} \\eex$$

 

1.6.8 证明: 集合 $$\\bex M=\\sed{\\f{1}{2}\\pm \\f{n}{2n+1};\\ n=1,2,\\cdots} \\eex$$ 只有聚点 $0,1$. (国外赛题)

 

1.6.9 序列 $\\sed{x_n}$ 定义如下: $x_1=x$ 是闭区间 $[0,1]$ 中的某一点, 如果 $n\\geq 2$, 那么序列 $$\\bex x_n=\\seddm{ \\f{1}{2}x_{n-1},&n\\mbox{ 是偶数}\\\\ \\f{1+x_{n-1}}{2},&n\\mbox{ 是奇数} } \\eex$$ 可能有多少个聚点? (国外赛题)

 

1.6.10 证明: 若序列 $\\sed{x_n}$ 有界且 $\\dps{\\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. 则此序列的聚点之集合是区间 $[l,L]$, 其中 $$\\bex l=\\vli{n}x_n,\\quad L=\\vls{n}x_n. \\eex$$

 

1.7.1 试将 $\\S$ 1.6 中关于序列上、下极限的例题与练习改变成函数上、下极限的命题, 并加以讨论.

 

1.8.1 设函数 $f(x)$ 在有限区间 $I$ 上有定义, 满足: $\\forall\\ x\\in I$, 存在 $x$ 的某个开邻域 $(x-\\del,x+\\del)$, 使得 $f(x)$ 在 $(x-\\del,x+\\delta)\\cap I$ 上有界. 1) 证明: 当 $I=[a,b]$ ($0<b-a<+\\infty$) 时, $f(x)$ 在 $I$ 上有界; 2) 当 $I=(a,b)$ 时, $f(x)$ 在 $I$ 上一定有界么? (厦门大学)

 

1.8.2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义且在每一点处函数的极限存在, 求证: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界. (哈尔滨工业大学)

 

1.8.3 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有定义, $\\forall\\ \\xi\\in (a,b)$, $\\exists\\ \\del>0$, 当 $x\\in (\\xi-\\del,\\xi+\\del)\\cap (a,b)$ 时, 有 $$\\bex f(x)<f(\\xi)\\ (\\mbox{当 }x<\\xi\\mbox{ 时}); \\quad f(x)>f(\\xi)\\ (\\mbox{当 }x>\\xi\\mbox{ 时}). \\eex$$ 求证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格递增.

 

1.8.4 用有限覆盖定理证明: 任何有界数列必有收敛子列. (西北大学)

 

1.8.5 试用区间套定理重新证明第 1.1 节 练习 1.1.13: ``设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $\\exists\\ x_0\\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学) \'\'