完全背包问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了完全背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

完全背包问题

(egin{cases}dp[0][j]=0\dp[i+1][j]=max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]) end{cases})

代码:

int n,W;    cin >> n >> W;
for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<=W;++j)
        for(int k=0;k*w[i]<=j;++k)
            dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
int ans=dp[n][W];

但是这个算法的复杂度达到了(O(nW^2)),发现有一不部分计算可以利用前面计算的结果来简化,因此经过精简后的代码:

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0; j<=W; ++j)
        if(j<w[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j];
        else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
ans=dp[n][W];

同时出于节省内存的考虑,可以将其用一维数组表示

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=w[i];j<=W;++j)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
ans=dp[W];

也放出01背包的代码,对照一下:

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=W;j>=w[i];--j)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
ans=dp[W];

除此之外,因为递推方程只涉及(dp[i])(dp[i+1])之间的关系,所以可以将两个数组滚动使用

代码:

int dp[2][maxn];
for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<=W;++j)
        if(j<w[i]) dp[(i+1)&][j]=dp[i&1][j];
        else dp[(i+1)&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i+1)&1][j-w[i]]+v[i]);

以上是关于完全背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

背包0-1背包与完全背包一维数组实现

完全背包问题 POJ1384

3. 完全背包问题

动态规划第八篇:认识完全背包问题

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