3. 完全背包问题

Posted 2021-10-06 蒟蒻豆进阶之路

题目传送门

一、完全背包模板

把\\(01\\)背包的代码，容量循环的顺序变成由小到大即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];


//完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) //一个一个加上来，求一个最大值
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

二、01背包与完全背包的本质差别

状态表示：\\(f(i,j)\\)
集合： \\(i\\)是指在前\\(i\\)个物品中进行选择，\\(j\\)是指在总体积不超过\\(j\\)的容量下进行选择。
属性： 求一个最大值。 因为按上面的集合进行选择，每选择一次，就会出现一个结果，我们想求的是这些结果中的最大值。

状态计算
与\\(01\\)背包不一样，\\(01\\)背包是每一个物品选与不选，完全背包不是这个意思。是可以不选，选择\\(1\\)个，或者选择多个。

就是按选择\\(0-k\\)个物品，划分成了\\(k+1\\)个集合，原来两个选与不选，到这里就变成了\\(k+1\\)种方案，我们需要逐个讨论才能完整描述事实。

\\(f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v_i)+w_i,f(i-1,j-2*v_i)+2w_i,....\\)

上面的公式简单理解一下，就是第\\(i\\)个物品
(1) 可以不取:\\(f(i-1,j)\\)
表示还在前\\(i-1\\)个物品中选择，第\\(i\\)个不参加选择，由于没有选择，所以空间还剩余\\(j\\)这么大。

(2) 选择1个:\\(f(i-1,j-v_i)+w_i\\)
表示选择了一个第\\(i\\)个物品，其它的都需要从前\\(i-1\\)个物品中选择，由于使用了一个\\(i\\)物品，所以袋子的容量减少\\(v_i\\),剩余 \\(j-v_i\\),同时，价值增加了\\(w_i\\).

(3) 选择\\(2\\)，\\(3\\)，\\(4\\)...都与选择\\(1\\)是一样的，一直到选择\\(k+1\\)个\\(i\\)号物品，使得体积大于了剩余容量，就不能继续了。

至此，我们已经得到了状态转移方程，是可以直接用来求解，方法就是三重循环，伪代码如下：

\\(for(i=1;i<=n;i++)\\) 物品
\\(\\qquad\\) \\(for(j=1;j<=m;j++)\\) 体积
\\(\\qquad\\) \\(\\qquad\\) 在前\\(i\\)件物品的前提下，在\\(j\\)限定的空间里，遍历所有可有存在的个数
\\(\\qquad\\) \\(\\qquad\\) \\(\\qquad\\) 求出最大值

这样做，需要三重循环，本题给出的\\(n,m\\)的取值范围是1000，三重循环的时间复杂度就是\\(10^3 * 10^3 * 10^3=10^9\\),而\\(c++\\)的一秒能计算\\(10^7\\)到\\(10^8\\),所以，会超时，需要继续优化。

那么如何进行优化呢？数学是个好东西，现在让数学大神出场：

已知：
\\(f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v_i)+w_i,f(i-1,j-2 \\times v_i)+2w_i,....\\)

如果\\(j=j-v_i\\)时，代入上式：

\\(f(i,j-v_i)=max(f(i-1,j-v_i),f(i-1,j-2\\times v_i)+w_i,f(i-1,j-3 \\times v_i)+2w_i,....\\)

新产生的式子，和第一个式子是很像的，但每项缺少一个\\(w_i\\),将新产生的式子代入最上面的式子：就是
$f(i,j-v_i)+w_i=max(f(i-1,j-v_i)+w_i,f(i-1,j-2\\times v_i)+2 * w_i,f(i-1,j-3 \\times v_i)+3 * w_i,.... $

\\(f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-v_i)+w_i)\\)

太神奇了！！一般同学们学习完全背包问题时，都喜欢直接看状态转移方程来理解含义，结果发现理解不上去。为什么会发生这样的事情呢？原因很简单，因为人家根本不是从现实直接过度到方程的，人家中间是有一顿推导过程的，你略过了中间过程，肯定看结果看不懂了，啥叫循序渐进？啥叫学个通透？要知其然，并知其所以然才能学的精通。

总结一下
二维情况下的状态转移方程

0 $\\ $1背包 ： \\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i)\\)
完全背包： \\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i)\\)

这样，再用二维除一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：

 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) 
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 

C++ 代码【二维朴素写法】

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N]; 
//枚举体积有限制是在优化后的算法有限制，在两维时候想怎么循环就怎么循环，是没有限制的
//为什么优化后要有限制呢？？
//这是因为在二维里，有一个是不是剩余容量能装得下当前物品的判断，在优化的版本去掉了这句话，把它放到循环条件中了。

//完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); 
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

C++ 代码 【一维终极解法】

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];


//完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) //一个一个加上来，求一个最大值
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

三、思考

为什么01背包要倒着推，完全背包要顺着推
https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7782700.html