线性筛法求素数

Posted 2021-03-10 return-blog

说到求素数，其实自己刚学C++那时也遇到过这种问题，如果你那时候叫我写个求1~100以内的素数的程序，我会毫不犹豫的这样写（然后被一堆大佬疯狂吊打qwq）：

#include <iostream>
using namespace std;

bool prime(int x){
    if(x<=1) return false;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(int i=1;i<=100;i++)
        if(prime(i)) cout << i << ' ';
    return 0;
}

其实这并不算筛法，而且时间复杂度非常高，该算法比较少用， 但优点是占用空间较少 。
但如果题目的数据范围一大起来，这种算法肯定挂 （这也是自己被大佬们疯狂吊打的原因吧） 。

埃式筛

第一种算法的时间复杂度太高了，下面介绍一种真正的筛法，即埃式筛，而且时间复杂度还比上面介绍的低 （这不废话吗，比上面的高那还用介绍吗？） ：

#include <iostream>
using namespace std;

bool book[20005];
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]){
            for(int j=i+i;j<=100;j+=i)
                book[j]=1;
        }
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]) cout << i;
    return 0;
}

以上代码的思想是：对于不超过n的素数p，删除2p,3p,4p…，当处理完所有的数之后，还没有被删除的数就都是素数。
怎么样，是不是比第一种方法快很多？
但是，仔细分析我们就会发现，这种筛法还是存在一个问题：重复筛，比如当i为2的时候，3i是等于6的，也就是说，当i=2的时候6就被筛掉了，但是i=3的时候，2i也等于6，我们会发现6又被筛了一次，所以这种筛法还是达不到我们的要求。

线性筛

现在轮到今天的主角登场了！这就是线性筛！那么线性筛到底有什么好的呢？


先来看看线性筛的思路：
其实，线性筛就是埃式筛的升级版，它解决了埃式筛遗留的问题：重复筛。它让每个合数只被他的最小质因子筛一遍，它的时间复杂的接近于O(N) （这么好的算法，简直是AK IOI必备啊）

上代码：

#include <iostream>
using namespace std;

bool book[20005];
int prime[20005],pos,i,j;
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(i=2;i<=100;i++){
        if(!book[i]) prime[++pos]=i;
        for(j=1;j<=pos;j++){
            if(i*prime[j] > 100) break;
            book[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=pos;i++)
        cout << prime[pos];
    return 0;
}

现在来逐行代码解析：
现在来看 if(!book[i]) prime[++pos]=i; ，这段代码的作用是判断当前数是否被筛过（如果没筛过，即book[i]=0，那么这个数就是素数，所以就要往prime的尾部添加这个数字），，
if(i*prime[j] > 100) break; 这段代码的作用是控制筛的范围
book[i*prime[j]]=1; 则是把当前的数筛掉


if(i%prime[j]==0) break;接下来重点解析这句话，他就是避免重复筛的关键！
当i是prime[j]的整数倍时，说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要现在筛出，因为在之后筛除过程中i * prime[j+1] 这个合数一定会被prime[j]筛除，prime[j]之后的所有素数同理，所以break跳出循环。

（参考文章：https://blog.csdn.net/FeilingGong/article/details/83660779）