欧拉筛法求素数

Posted 2020-08-17 A.S.KirigiriKyouko

 

欧拉筛法求素数
     首先，我们知道当一个数为素数的时候，它的倍数肯定不是素数。所以我们可以从2开始通过乘积筛掉所有的合数。
     将所有合数标记，保证不被重复筛除，时间复杂度为O（n）。代码比较简单↓_↓

/*求小于等于n的素数的个数*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, cnt = 0;
    int prime[100001];//存素数 
    bool vis[100001];//保证不做素数的倍数 
    scanf("%d", &n);
    memset(vis, false, sizeof(vis));//初始化 
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])//不是目前找到的素数的倍数 
        prime[cnt++] = i;//找到素数~ 
        for(int j = 0; j<cnt && i*prime[j]<=n; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = true;//找到的素数的倍数不访问 
            if(i % prime[j] == 0) break;//关键！！！！ 
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}

if(i % prime[j] == 0) break;←_←这一步比较难理解
解释：
      首先，任何合数都能表示成多个素数的积。所以，任何的合数肯定有一个最小质因子。我们通过这个最小质因子就可以判断什么时候不用继续筛下去了。

      当i是prime[j]的整数倍时（i % prime[j] == 0），i*prime[j+1]肯定被筛过，跳出循环。

      因为i可以看做prime[j]*某个数， i*prime[j+1]就可以看做 prime[j]*某个数*prime[j+1] 。而 prime[j] 必定小于 prime[j+1]，
所以 i*prime[j+1] 必定已经被 prime[j]*某个数 筛掉，就不用再做了√

      同时我们可以发现在满足程序里的两个条件的时候，prime[j]必定是prime[j]*i的最小质因子。这个性质在某些题里可以用到。

      这样就可以在线性时间内找到素数啦~\(≧▽≦)/~

     

     p.s.这里初学咸鱼，如有错误欢迎各位大佬们指出~