筛法求素数的几个模板

Posted 2021-03-08 coeus-qin

定义法

素数可以由定义法求出，即遍历2到sqrt(x)中是否存在能整除x的数，如果存在则不是素数，如果不存在，则是素数，复杂度是O(n)。在数据量小的时候可以使用。

bool isprime(int x) // 判断素数 
{
    if ( x<=1 ) return false;
    for (int i = 2; i*i<=x; i++)
        if (x%i==0)
            return false;
    return true;
}

一般线性筛法

当数量级变大时，如果要找出某个范围内的素数，那么时间复杂度很容易过不去。因此考虑这样一个命题：若一个数不是素数，则必然存在一个小于它的素数作为其因数。该命题很容易证明其正确性

所以我们假设已经获得小于一个数x的所有素数，那么判断时就只需要看x是否能被这些素数整除，来判断x是不是素数。

但这样依然需要大量的枚举测试工作，因此换一个角度：当获得一个素数时，即将他所有的倍数均标记为非素数。这样一来，遍历是，如果这个数没有被标记，就说明它就无法被小于它的书整除，则可以认定为素数。

#define MAXSIZE 10001
 
int Mark[MAXSIZE];
int prime[MAXSIZE];
 
//判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
int Prime(){
    int index = 0;
    memset(Mark,0,sizeof(Mark));
    for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++)
        //已被标记
        if(Mark[i] == 1) continue;
        else{
            //否则得到一个素数
            prime[index++] = i;
            //标记该素数的倍数为非素数
            for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i) // 注意这里是i*i,这要比i+i更快
                Mark[j] = 1;
        }
    return index;
}

快速线性筛法

上述方法存在的问题是，重复排除合数，如合数6，在遍历2时，会排除一次，遍历3时，还会排除一次。因此还可以针对上述筛法进行优化。

对于2~n的每一个数，它只筛去到目前为止它能筛到而之后的其他数筛不到的几个合数，而把它能筛到，另有别的数也能筛到的数留个接下来的数去筛，这样的话就能使得素数的筛选不重不漏.

对于快速筛法求素数，其步骤也可分为如下几个阶段：

1 开一个n+1大小的数组num[n]来存放每一个元素的筛留情况（即对于num[n]的每个数与下标号相同，对于任意num[n]有num[n]=0,num[n]=1两种情况，如果num[n]=0则是素数，反之num[n]=1时是合数）;

2 再开一个数组prime[n]来存放筛出的素数以便最后输出结果;

3 对于一个数j，总是进行从n*prime[0]~n*prime[j](由小到大来乘)，直到if(n%prime[j]==0)成立时break掉

#include<iostream>
using namespace std;    
const long N = 200000;   
long prime[N] = {0},num_prime = 0;    
int num[N] = {1, 1};   
int main()    
{     
    for(long i = 2 ; i < N ; i ++)       
    {            
        if(! num[i])               
            prime[num_prime ++]=i;      
        for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
        {               
            num[i * prime[j]] = 1;  
            if( !(i % prime[j] ) )                   
                break;           
        }        
    }        
    return 0;   
}  

质数 2可以把4标记成合数 此时 质数集合有 ：2

质数 3可以把 6,9 标记成合数 此时 质数集合有 ：2，3

质数 5可以把10,15,25标记成合数 此时 质数集合有 ：2，3, 5

质数 7可以把 14，21,35,49 标记成合数 此时 质数集合有 ：2，3, 5, 7

质数 11可以把 22 , 33 , 55 , 77 , 121 标记成合数 此时 质数集合有 ：2，3, 5, 7 ，11

以质数11 标记的合数为例：期中22,33,55,77其实都可以在之前用质数2,3,5,7标记掉

但是，如果之前标记了，现在在标记一遍会重复，所以用 if( !(i%prime[j]) ) break; 的语句来限制用以避免重复。

那么为什么这条语句可以避免重复呢？

因为一个定理：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式

既然要标记的合数可以被其他更大的质数标记，那么，现在的质数只需要把自己范围内的合数标记了，其他指数范围内需要去标记的合数就没必要标记了：即 break。

进一步优化

最后进一步进行优化，因为除了2，素数只可能是奇数，因此只需要对奇数进行判断即可。

half=SIZE/2;   
int sn = (int) sqrt(SIZE);   
for (i = 0; i < half; i++)   
   p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3   
for (i = 0; i < sn; i++) {      
if(p[i])//如果 i+i+3 是素数  
{       
    for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)   
    // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2                                          
    // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i  
    //    下标 i         k*i+k+i  
    //对应数值 k=i+i+3   k^2           
       p[j]=false;   
}   
}   
//素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。  
//举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....