[luogu p1004] 方格取数

Posted 2021-03-09 crab-in-the-northeast

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题面

题目描述

设有一个N*N的方格图(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数N（表示N×N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出 #1

67

说明/提示

NOIP 2000 提高组第四题

分析

首先先过一遍题目——经典的dp，可能是二维。
但是仔细瞧瞧——要走两次！
要走两次怎么办？哲学分割灵魂（假装有哲学符号）想象成两个人走呀！
那么，自然就是四维dp啦！

假象两个人分别走，一个人走到dp[i][j]，获得了最大值，另一个则是另一个人走到dp[k][l]，获得的最大值，这两个人收集的和，就是dp[i][j][k][l]值了。

太棒啦！转移方程自然就出来啦~
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+a[k][l]+a[i][j];

稍等，如果两个人撞上了怎么办？
《说文解字》曰：题目说：
@> 试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

咬文嚼字一下，发现题目说的是这两条路径取得的数的和，主语是取得的数，并不是两条路径。所以，这两条路径有交集的话，和只能加一遍。

那怎么办？凉拌 特判呀！
把方程改进一下：
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+(((i==k&&j==l)?0:(a[k][l]))+a[i][j]);
这样，如果i==k&&j==l，即两个人撞上了，就只加一次。
这个方程是用在编程中的，所以有点丑，现在献上一个简单点的数学版本：
[f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]+a[k][l]]
当然了，这是两个人没撞上的。撞上后就是
[f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]]

棒！上代码啦！

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
int a[15][15],dp[15][15][15][15];
int tmpx,tmpy,tmpnum,n;
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(1)
    {
        scanf("%d%d%d",&tmpx,&tmpy,&tmpnum);
        if(tmpx==0&&tmpy==0&&tmpnum==0) break;
        a[tmpx][tmpy]=tmpnum;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                for(int l=1;l<=n;l++)
                    dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+(((i==k&&j==l)?0:(a[k][l]))+a[i][j]);
    printf("%d
",dp[n][n][n][n]);
    return 0;
}

提示：这道题还可以再压，但是对于这道题的数据，我们不用压了。
大家可以用聪明的脑瓜想想还能怎么压。