多重背包问题（二进制优化）

Posted 2021-02-21 jason66661010

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有p[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是v[i]v[i]v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

具体转换为01背包的策略：二进制拆分

将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。

例如意见物品的p【i】为13，则要分为4件物品，这四件物品的系数分别是1 2 4 6，则四件物品的占用空间与价值均变为原来的1 2 4 6倍

代码：

for (int i = 1; i <= n; i++) 
{
    int num = min(p[i], V / w[i]);//比较选取拥有的个数p[i]、物品理论可选取得最大值 V / w[i]中较小的一个
    for (int k = 1; num > 0; k <<= 1) //k是左移，开始是1 ，左移一位变为2 接着4 8……
	{
        if (k > num) k = num;
        num -= k;
        for (int j = V; j >= w[i] * k; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - w[i] * k] + v[i] * k);//都要*k
    }
}