高维前缀和

Posted 2021-01-26 yinwuxiao

题解：

首先考虑三维前缀和

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
              b[i][j][k]=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1]
                            -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1]
                            +b[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];

我们需要$2^t$来容斥

但我们可以做到$t$,正确性证明在后面

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][p]+=a[i-1][j][p];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][p]+=a[i][j-1][p];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][p]+=a[i][j][p-1];

 

另外一种一般是状压dp，$g[i]=sum{j|i|}{S} f[j]$

这个东西暴力是$3^n$的，我们利用和上面同样的方法做到$2^n*logn$

for(int i=0;i<w;i++){
    for(int j=0;j<(1<<w);j++){
        if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<i)]; 
    }
}