高维前缀和

Posted 2021-01-12 miracevin

我们经常要用到前缀和。

一维：

for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=b[i-1]+a[i];

二维：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
         b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+a[i][j];

那如果是三维的呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
              b[i][j][k]=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1]
                            -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1]
                            +b[i-1][j-1][k-1]

其实就是一个容斥。

但是，随着维度t变高，容斥的复杂度是2^t，总复杂度O(n^t*2^t不能承受。

 

我们还有一个方法：

一维：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    a[i]+=a[i-1];

 

二维：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i][j-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i-1][j];

这个意思就是，第一遍前缀和，每个位置a[i][j]是，i行前j个的和。

第二遍，就把前面所有行的和加过来了。

分两遍达到目的。看似麻烦。

那三维呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];

其实和二维的理解是一样的。再来一遍，把第三维的和加过去。

 

但是，这个三维只要3次，也就是说，对于t维，其实只要O(n^t*t)复杂度就很低了。

 

其实我们实际解题中，经常用的是n=2的情况。

比如，

例题：

1.部分和（牛客网NOIP赛前集训营-普及组（第四场））

输入一个长度为n的数组a[i]，下标从0开始（0到n-1）
保证n是2的整数次幂，
对于每个i (0 <= i < n)
求所有满足((i & j) == j)的a[j]之和。

n<=2^20

 

即，求每个i的子集和。

如果n=2^6,如果把i的二进制的表示：10101看做一个5维坐标的话，

那么，i的子集就是这个坐标的高维前缀和。

可以发现，每个维度的n都是2，

 

这就比较好处理了。

如果是一般的：w表示最高维度：

for(int i=0;i<w;i++){
    for(int j=0;j<(1<<w);j++){
        if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<w)]; 
    }
}

本题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<21);
ll a[N];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);int p=0;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){p++;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if((j&(1<<p-1))) a[j]+=a[(j^(1<<p-1))];
        }
    }for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld
",a[i]);return 0;
}

 

 复杂度和高维前缀和一样；O(2^t*t)