HDU5765 Bonds (高维前缀和)

Posted 2021-02-06 rrrr-wys

HDU5765 Bonds (高维前缀和)

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题意：(n(n<=20))个点(m)条边无向图，求每条边出现在多少个(Bond)里。一个图的(cut)指，对于一个图(G)的边集的某个子集(E)，如果删除(E)中的所有边，原图不连通。一个图的(Bond)指，对于一个图(G)，(cut)恰好使得图不连通的边集(E)，即原图去除(E)后，形成两个连通图。

做法：首先，考虑如何求出所有的(Bond)。显然可以(2^{20})枚举出点集(A)，然后如果(A)和它的补集(B)，分别都是联通的，那么他们之间的所有边构成一种合法的(Bond)。这里就需要预处理点集的联通形(ok[s])。之后，考虑如何计算每条边出现在多少个(Bond)里，一种显然会(TLE)的方法是枚举所有的边和(Bond)，即(O(m2^n))。考虑对于一条边(u-v)的答案，就是在所有合法的(Bond)中，(u)和(v)分别属于(Bond)的两边。也就等于，所有的(Bond)的数目，去掉(u-v)都在一个集合内的数目。我们用(f[s])表示，包含点集(s)的所有合法的集合的数目，显然可以先(f[合法点集]=1)，然后做超集的高维前缀和，而(f[(1<<u)|(1<<v)])就是包含(u-v)的合法集合的数目，用总的Bond数减去它就是该条边的答案。另外还有个坑点，一开始直接(bfs)这个图求(ok[s])，就(TLE)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define pb push_back
#define Pii pair<int,int>
#define Ppi pair<Pii, int>
#define x first
#define y second
typedef long long ll;
const int N = 20;
inline void read(int &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x *= f;
}
using namespace std;
int n, m, LIM, u[444], v[444], f[1 << N | 5], G[N+3];
bool ok[1 << N | 5];
void init_ok() {
    for(int i = 0; i < n; ++i) ok[1<<i] = 1;
    for(int s = 0; s < (1<<n); ++s) {
        if(!ok[s]) continue;
        for(int i = 0; i < n; ++i) if( !(s&(1<<i)) && (s&G[i]) ) ok[s|(1<<i)] = 1;
    }
}
int main() {
    int T_T, KK = 0; read(T_T);
    while(T_T--) {
        read(n), read(m);
        LIM = (1<<n)-1;
        memset(G,0,sizeof(G));memset(ok,0,sizeof(ok)); memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i = 0; i < m; ++i) {
            read(u[i]), read(v[i]);
            G[u[i]] |= (1<<v[i]);
            G[v[i]] |= (1<<u[i]);
        }
        init_ok();
        int ans = 0;
        for(int s = 0; s <= LIM-s; ++s)  if(ok[s] && ok[LIM-s]) {
            ++ ans; f[s] = f[LIM-s] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < n; ++j) 
            for(int i = 0; i <= LIM; ++i) 
                if(!(i & (1 << j))) f[i] += f[i|(1<<j)];
        printf("Case #%d:",++KK);
        for(int tmp, i = 0; i < m; ++i) {
            printf(" %d", ans - f[(1<<u[i])|(1<<v[i])]);
        } putchar('
');
    }
}

高维前缀和模板

超集

for(int j = 0; j < n; ++j) 
    for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) 
        if(!(i & (1 << j))) f[i] += f[i|(1<<j)];

子集

for(int j = 0; j < n; ++j)
    for(int i = 0; i< (1 << n); ++i)
        if(i & (1 << j)) f[i] += f[i^(1<<j)];