动态规划例题

Posted 2021-01-25 jingwenxing

1、最大连续子序列之和

题目：

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。

状态转移方程： sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])

代码：

#include <cstdio>

int main()
{
    int i, sum = 0, max = 0;
    int data[] = { 1, -2, 3, -1, 7 };
    for (i = 0; i < sizeof(data) / sizeof(data[0]); i++)
    {
        sum += data[i];
        if (sum > max)
            max = sum;
        if (sum < 0)
            sum = 0;
    }
    printf("%d", max);
    return 0；
}

作者：nash_
链接：https://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8247015
来源：CSDN

2、塔树选择和最大问题

题目：

数塔问题 ：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

   5
  8 4
 3 6 9
7 2 9 5

分析：

直接分析，从上到下的考虑，发现无从下手好像只能遍历，但是反方向考虑则，则发现有趣的地方，假设dp[i][j]为最下面一层到第i层j位置上的最大值，考虑上图6这个位置，那么其dp[3][2]应该是什么呢？是下面相邻的两个位置的最大值+6,即dp[3][2] = max(dp[3+1][2],dp[3+1][2+1]) + a[3][2]。

据此可以推导其公式为
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]) + a[i][j]

根据上述公式编程思路如下：
1、初始化最下面一排dp
2、由下往上，安装上述公式对dp进行赋值
3、dp[1][1]为最终所求

转移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]

代码：

//最下面一层直接赋值
int rs = 0;
for (int i = 0; i < FLOOR; i++)
    dp[FLOOR - 1][i] = a[FLOOR - 1][i];

//从倒数第二行起， 按照状态转移方程
//dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + a[i][j]向上递推
//直到dp[0][0]， 此时dp[0][0]就是结果
for (int i = FLOOR - 2; i >= 0; i--)
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + a[i][j];

作者：鱼游硅谷
链接：https://www.jianshu.com/p/7ffba3910997
来源：简书

3、爬楼梯

题目：

你正在爬楼梯。 它需要n步才能达到顶峰。
每次你可以爬1或2步。 您可以通过多少不同的方式登顶？

代码：

class Solution:
    # @param n, an integer
    # @return an integer
    def climbStairs(self, n):
        dp = [0, 1, 2]
        if n <= 2:
            return dp[n]
        dp += [0 for i in range (n-2)]
        for i in range (3, n + 1):
            dp[i] += dp[i-1] + dp[i-2]

        return dp[n]

作者：鱼游硅谷
链接：https://www.jianshu.com/p/7ffba3910997
来源：简书

4、最长上升子序列（LIS）

题目：

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

O(N^2)做法：dp动态规划

状态设计：dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度
状态转移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i])
边界处理：dp[i]=1 (0<=j< n)
时间复杂度：O(N^2)
举例： 对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的变化过程如下

dp[i]	初始值	j=0	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5
dp[0]	1
dp[1]	1	2
dp[2]	1	2	2
dp[3]	1	2	2	3
dp[4]	1	2	3	3	4
dp[5]	1	2	2	3	3	3
dp[6]	1	2	3	3	4	4	4

求完dp数组后，取其中的最大值就是LIS的长度。【注意答案不是dp[n-1]，这个样例只是巧合】

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXX=100000+5;
const int INF=INT_MAX;

int a[MAXX],dp[MAXX]; // a数组为数据，dp[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列长度

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            dp[i]=1; // 初始化为1，长度最短为自身
        }
        int ans=1;
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<i; j++)
            {
                if(a[i]>a[j])
                {
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);  // 状态转移
                }
            }
            ans=max(ans,dp[i]);  // 比较每一个dp[i],最大值为答案
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

作者：wbin233
链接：https://blog.csdn.net/wbin233/article/details/77570070
来源：CSDN

5、背包问题

题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的大小是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

分析：

用DP[I][J] 表示前I件物品放入一个容量为J的背包可以获得的最大价值。则

  DP[I][J]=     DP[I-1][J]  ,J<C[I]
                MAX（DP[I-1][J]，DP[I-1][J-C[I]]+W[I]）  , J>=C[I]

这样实现的空间复杂度为O(VN)，实际上可以优化到O（V）

代码：

const int MAXW=13000;    //最大重量
const int MAXN=3450;     //最大物品数量
 
int c[MAXN];     //物品的存放要从下标1开始
int w[MAXN];     //物品的存放要从下标1开始
int dp[MAXW];
 
//不需要将背包装满，则将DP数组全部初始化为0
//要将背包装满，则初始化为DP[0]=0，DP[1]…DP[V]=-1(即非法状态)
int Packet(int n,int v) {
      int i,j;
      memset(dp,0,sizeof(dp));
      for(i=1;i<=n;++i) {
          for(j=v;j>=c[i];--j) {  //这里是倒序，别弄错了
              dp[j]=MAX(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
          }
      }
 
      return dp[v];
}

作者：鱼游硅谷
链接：https://www.jianshu.com/p/7ffba3910997
来源：简书

6、最长公共子序列（LCS）

题目：

LCS：给出两个序列S1和S2，求出的这两个序列的最大公共部分S3就是就是S1和S2的最长公共子序列了。公共部分必须是以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

选出最长公共子序列。对于长度为n的序列，其子序列共有2的n次方个，这样的话这种算法的时间复杂度就为指数级了，这显然不太适合用于序列很长的求解了。

分析：

既然学到了动态规划，就来看看能否用动态规划的思想来解决这个问题。要使用动态规划，必须满足两个条件：有最优子结构和重叠子问题。为了便于学习，我们先来了解下这两个概念。

如果问题的一个最优解中包含了子问题的最优解，则该问题具有最优子结构。当一个递归算法不断地调用同一问题时，我们说该最优问题包含重叠子问题。

说明：动态规划要求其子问题既要独立又要重叠，这初看上去貌似存在矛盾，其实不然。只是这里说的是两个不同的概念。独立指的是同一问题的两个子问题不共享资源。而重叠子问题指的是子问题可以作为不同的问题的子问题出现。

设X = <x1,x2...xm>, Y = <y1,y2...yn>为两个序列，并设Z = <z1,z2...zk>为X和Y的任意一个LCS。可以得出：
1、如果xm = yn，那么zk = xm = yn而且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的一个LCS；
2、如果xm != yn，那么zk != xm蕴含Z是X(m-1)和Y的一个LCS；
3、如果xm != yn，那么zk != yn蕴含Z是X和Y(n-1)的一个LCS。

注：上面的Z(k-1)表示序列Z<z1,z2...zn>,其中n=k-1。其它的X()和Y()也是一样的。
很容易证明上述三点是成立的，详细证明见算法导论。所以LCS具有最优子结构。从上面也可以看出LCS问题中的重
叠子问题的性质。所以我们可以用动态规划来解决LCS问题。由LCS问题的最优子结构可得出递归式：

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

#define M 7  
#define N 6  

int lcs(char *x,char *y,int c[M+1][N+1],int b[M+1][N+1])
{
    int m=M,n=N;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        c[i][0]=0;
    for(int j=0;j<=n;j++)
        c[0][j]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(x[i]==y[j])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                b[i][j]=0;
            }
            else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j];
                b[i][j]=1;
            }
            else
            {
                c[i][j]=c[i][j-1];
                b[i][j]=-1;
            }
        }
    return c[m][n];
}

void printLcs(int b[][7],char *x,int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)
        return;
    if(b[i][j]==0)
    {
        printLcs(b,x,i-1,j-1);
        cout<<x[i];
    }
    else if(b[i][j]==1)
        printLcs(b,x,i-1,j);
    else
        printLcs(b,x,i,j-1);
}

int main()
{
     
    char x[M+1]={‘0‘,‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘};
    char  y[N+1]={‘0‘,‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘};   
    int c[M+1][N+1];//注意大小要为strlen+1;因为要存0
    int b[M+1][N+1];
    
    cout<<lcs(x,y,c,b)<<endl;
    cout<<"X:"<<x<<endl;
    cout<<"y:"<<y<<endl;
     
    for(int i=1;i<=7;i++)
    {
        for(int j=1;j<=6;j++)
            cout<<b[i][j]<<ends;
        cout<<endl;
    }
    
    cout<<"最长子序列为:"<<endl;
    printLcs(b,x,7,6);
    return 0；
}

注意我们的b[0][i] b[i][0]没有存储任何东西。
输出:4
BCBA.

懒~，请翻原网：https://www.cnblogs.com/youxin/p/3269294.html