动态规划：矩阵连乘问题

Posted 2021-08-05 Abro.

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划：矩阵连乘问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题.

一、概念

1.1 算法总体思想

在这里插入图片描述

1.2 基本步骤

在这里插入图片描述

二、案例

2.1 例题

设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别是A=2×4 B=4×3 C=3×5，D=5×2,使用动态规划法求其最优解和最优加括号方法。
在这里插入图片描述

2.2 代码实现

源代码：

public class Matrix_2 {
    /**
     * 主方法 程序入口
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        int []p = {5,10,20,15,5};
        int [][]m = new int [p.length+1][p.length+1];
        int [][]s = new int [p.length+1][p.length+1];
        MatrixChain(p,m,s);
        System.out.println("乘法的最优次序：");
        traceback(s,1,p.length-1);
    }

    /**
     * 矩阵连乘
     * @param p
     * @param m
     * @param s
     */
    public static void MatrixChain(int []p,int [][]m,int [][]s){

        for(int i=1;i<=p.length;i++){//矩阵对角线元素为0
            m[i][i]=0;
        }
        for(int r = 2; r<= p.length;r++){
            for(int i=1;i<=p.length-r;i++){
                int j = i+r-1;
                m[i][j] = m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
                s[i][j] = i;
                for(int k =i+1;k<j;k++){
                    int t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t<m[i][j]){
                        m[i][j] = t;
                        s[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 加括号
     * @param s
     * @param i
     * @param j
     */
    private static void traceback(int[][] s, int i, int j) {
        if(i==j)
            System.out.print("A"+i);
        else if(i+1==j)
            System.out.print(" (A"+i+" * "+" A"+j+") ");
        else{
            System.out.print(" (");
            traceback(s,i,s[i][j]);
            traceback(s,s[i][j]+1,j);
            System.out.print(") ");
        }
    }
}