luoguP1082同余方程

Posted 2021-01-20 sevenyuanluo

第二道绿题

这次大概真正懂了

看题面：

先了解一下公式 ax≡1(modb)

≡为恒等

这个公式翻译过来就是一个不定方程

ax+by=1

如果了解扩展欧几里得就知道这是一道exgcd的模版题//gg说的emmm

那我们先来了解一下gcd和扩展gcd吧（毕竟我本人当初也不会

gcd：

 又称为辗转相除法

因为是求最大公约数，很好理解，就不再赘述了，上代码：

int gcd(a,b){
    if (b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);//辗转相除
}

exgcd：

基本思路：对于不全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by

证明：

显然，b=0时，gcd(a,b)=a,x=1,y=0

当ab!=0时

根据gcd可知：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

我们可以设x,x‘,y,y‘ //这里我们把a,b想成未知数，x,y想成常数，虽然较于正常方程来说有点别扭，但是适应一下就很好理解了

这样：ax+by=gcd(a,b)

bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)

可得ax+by=bx‘+(a%b)y‘

我们知道a%b=a-(a/b)*b //这里的式子都是编程里用到的

则ax+by=bx‘+ay‘-(a/b)*by‘

ax+by=ay‘+b(x‘-(a/b)y‘)

这样就可以发现取等的条件了：x=y‘&&y=x‘-(a/b)y‘

如此，求x‘,y‘,我们可以设x‘‘,y‘‘

x‘=y‘‘&&y‘=x‘‘-(a/b)y‘‘

如此一直推下去，我们可以用递归来解决

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b==0)
     {
         x=1;
         y=0;
         return a;
     }
     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
     return r;
 }

这里的b总会推成0，递归就结束了

我们现在已经了解了exgcd

现在再看这道题ax+by=1，求x的最小整数解

方程 ax+by=1有解的必要条件是 1%gcd(a,b)=0

那么相应的a,b互质

我们只需要求出ax+by=gcd(a,b)中x的最小整数解就可以了

显然，这就是一道exgcd的板子题 //然而您需要推出来上面的式子才能发现(?ì _ í?)

等等 可是题目要求的是x为正整数

我们用exgcd求出的x不一定是最小正整数

所以我们要将x+或-b直到x恰好大于0

然后您就切了这道题了！（tql！

#include<cstdio>
#include<iostream>
typedef long long ll;//为了避免数太大而开了long long，事实证明其实不需要……
using namespace std;
ll x,y;
void exgcd(ll a,ll b) {
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    ll k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
}//exgcd
int main() {
    ll a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b);
    while(x<0)
        x+=b;
    x%=b;//使x为最小整数解
    printf("%lld",x);
    return 0;
}

//本苣蒻第二篇题解祭

//真正理解的第一道绿题祭

//谢谢洛谷题解orz