洛谷 P1082 同余方程

Posted 2020-09-24 wawcac

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

//智商太低，搞这个搞了一晚上……

解题思路

　　我太菜了，不会扩欧，用的是dalao教的费马小定理，但这题没规定b一定是质数，所以要用欧拉定理，费马小定理其实就是欧拉定理的特殊情况。

　　　　1、同余的传递性。

　　　　若$$a \equiv b\mod p $$　　　　且$$b \equiv c\mod p $$　　　　则$$ a \equiv c\mod p$$

　　　　2、欧拉定理(同余的那个)$$a^{\phi(b)} \equiv 1\mod b$$

　　　　3、题目要求的那个式子$$ax \equiv 1\mod b$$

　　以上三项代换一下得到$ax \equiv a^{\phi(b)} \mod{b}$，我不知道为什么左边的a可以除过去——$x \equiv a^{\phi(b)-1}\mod b$，于是最小的x就是$a^{\phi(b)-1}\mbox{%} b$。

源代码

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
long long phi(long long n)
{
    ll res=n,now=n,max=ceil(sqrt(n));
    int b[max+1],size=0;ll prime[max/2];
    memset(b,1,sizeof(b));b[1]=0;
    for(int i=2;i<=max;i++){//不筛素数表会TLE一个点，本机要跑44s……
        if(b[i]==0) continue;
        size++;prime[size]=i;
        for(int t=2*i;t<=max;t+=i) b[t]=0;
    }
    for(int i=1;i<=size;i++){
        if(now%prime[i]==0){
            res=res/prime[i]*(prime[i]-1);
            while(now%prime[i]==0){
                now/=prime[i];
            }
        }
        if(now==1) break;
    }
    if(now!=1) res=res/now*(now-1);
    return res;
}

long long p(long long n,long long k,long long mo)
{
    if(k==0) return 1;
    if(k==1) return n%mo;
    long long a=p(n,k>>1,mo)%mo;
    a=a*a%mo;
    //printf("%lld %lld\n",k,a);
    return a*p(n,k&1,mo)%mo;
}

int main()
{
    //freopen("mod.in","r",stdin);
    //freopen("mod.out","w",stdout);//cogs的印记……
    long long a,b;
    //double start=clock();
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    long long k=phi(b)-1;
    //printf("%lf\n",(clock()-start)/1000000);
    printf("%lld\n",(p(a,k,b)+b)%b);
    return 0;
}