整数划分问题（递归）

Posted 2021-01-20 geziyu

将正整数 n 表示成一系列正整数之和， n=n1+n2+…+nk, 其中 n1>=n2>=…>=nk>=1 ， k>=1 。
正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分。正整数 n 的不同的划分个数称为正整数 n 的划分数，记作 p(n) 。
例如正整数 6 有如下 11 种不同的划分，所以 p(6)=11 。
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.
在正整数 n 所有不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ，称它为属于 n 的一个 m 划分。根据 n 和 m 的关系，考虑以下几种情况：  

        （ 1 ）当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，只有一种划分即 {1};

        (2)  当 m=1 时，不论 n 的值为多少，只有一种划分即 n 个 1 ， {1,1,1,...,1};

        (3)  当 n=m 时，根据划分中是否包含 n ，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含 n 的情况，只有一个即 {n} ；

              (b). 划分中不包含 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 (n-1) 划分。

              因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

        (4) 当 n<m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 q(n,n);

        (5) 但 n>m 时，根据划分中是否包含最大值 m ，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi}  的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这种划分个数为 q(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，个数为 q(n,m-1);

              因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

//整数划分问题
#include<iostream>
using namespace std;

int split(int n,int m){
    if( n == 1 || m == 1 )
        return 1;
    else if( n == m )
        return split(n,m-1)+1;
    else if( n < m)
        return split(n,n);
    else
        return split(n,m-1)+split(n-m,m);
}

int main(){
    int n,m;
    while(1){
        cout<<"请输入一个整数n：";
        cin>>n;
        cout<<"
请输入"<<n<<"的划分数m：";
        cin>>m; 
        int ans = split(n,m);
        cout<<endl;
        cout<<"共有："<<ans<<"种划分！

"<<endl;
    }
    return 0; 
}