分治 二分答案 三分未完结

Posted 2021-01-14 ppxppx

分治，字面上的解释是"分而治之"，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。分治法是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)等等。

分治三步法：

1 划分问题：把问题划分成元素个数尽量相等的两半；

2 递归求解：把两半元素分别求解；

3 合并问题：把两个已经求解的元素合并成一个；

二分的基本用途是在单调序列或单调函数中做查找操作，注意：二分一定是在一个单调有序的集合或函数中查找一个解；

整数定义域上的二分（模板）：

int erfen(int l,int r){

　　int l=1,r=n,ans;

　　while(l<=r){

　　　　int mid=(l+r)>>1;

　　　　if(check(mid)) ans=mid,l=mid+1;

　　　　else r=mid-1;

　　}

　　return ans;

}

注意，我们在二分实现中采用了右移运算>>1，而不是整数除法/2；前者是向下取整，后者是向零取整；

实数域上的二分（模板）：

double erfen(double l,double r){

　　double mid;

　　while(fabs(l-r)>eps){

　　　　mid=(l+r)/2.0;

　　　　if(check(mid)) r=mid;

　　　　else l=mid;

　　}　　

　　return l;

}

fabs是求实数绝对值的函数，注意与整数绝对值函数abs的不同；

eps是要确定好的精度，一般题目要求保留k位小数，则取eps=1e-（k+2）；

有时精度不容易确定或表示，就干脆采用循环固定次数的二分方法，往往结果的精度更高（实数二分常常卡精度，爆精度）；

for(int i=0;i<100;i++){

　　double mid=(l+r)/2;

　　if(check(mid)) r=mid;

　　else l=mid;

}

二分答案：最小值最大（或最大值最小）的问题，常常选用二分法求解，同时配合贪心，DP等其他算法检验答案的合理性，将最优化问题转化为判定性问题；

二分查找：用具有单调性的布尔表达式求解分界点，比如在有序数列中求数字x的排名；

例题：数列分段II（洛谷1182）

　　对于给定的一个长度为N的正整数数列A，现要将其分成M(M≤N)段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

　　求最大值最小，典型的二分题；

例题：扩散（洛谷1661）

　　一个点每过一个单位时间就会向四个方向扩散一个距离，两个点a、b连通，记作e(a,b),当且仅当a、b的扩散区域有公共部分。连通块的定义是块内的任意两个点u、v都必定存在路径e(u,a0),e(a0,a1),…,e(ak,v)。给定平面上的n给点，问最早什么时刻它们形成一个连通块。

 

　　方法一：二分时间t，运用并查集判断连通块；

　　方法二：假设任意两点之间有边，相当于求所有点构成的最小生成树中最长的一条边。把两点扩散连接的时长作为边的权值，开一个结构体存边，然后用kruskal算法求最小生成树，找到其中最长的边即可。

例题：Best Cow Fences(POJ2018)

例题：[Usaco2005 feb]愤怒的牛（BZOJ1734）

例题：Innovative Business