二分与三分
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二分与三分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
一、二分
二分法，在一个单调有序的集合或函数中查找一个解，每次分为左右两部分，判断解在那个部分并调整上下界，直到找到目标元素，每次二分都将舍弃一般的查找空间，因此效率很高。
二分常见模型
1、二分答案
最小值最大（或是最大值最小）问题，这类双最值问题常常选用二分法求解，也就是确定答案后，配合贪心，DP等其他算法检验这个答案是否合理，将最优化问题转化为判定性问题。例如，将长度为n的序列ai分为最多m个连续段，求所有分法中每段和的最大值的最小是多少？
2、二分查找
用具有单调性的布尔表达式求解分界点，比如在有序数列中求数字x的排名。
3、代替三分
有时，对于一些单峰函数，我们可以用二分导函数的方法求解函数的极值，这时通常将函数的定义域定义为整数域求解比较方便，此时dx可以直接去整数1。
二分写法
参考博客：传送门
版本1
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。
C++ 代码模板：
1 int bsearch_1(int l, int r) 2 3 while (l < r) 4 5 int mid = l + r >> 1; 6 if (check(mid)) r = mid; 7 else l = mid + 1; 8 9 return l; 10
版本2
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。
C++ 代码模板：
int bsearch_2(int l, int r) while (l < r) int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; return l;
二分使用范围：
必须具备单调性或者是二段性
参考leetcode暑假打卡活动2019——week1中
视频链接：传送门
写二分的过程：
1、确定二分边界
2、编写二分的代码框架
3、设计一个check（性质）
4、判断一下区间如何更新
5、如果更新方式是 L = Mid ， R = Mid - 1 ，那么在算mid时要加1
如果答案落在绿色线上，则用模板1，否则利用模板2。
【例题1】愤怒的牛
题目描述
牛们并不喜欢这种布局，而且几头牛放在一个隔间里，它们就要发生争斗。为了不让牛互相伤害。John决定自己给牛分配隔间，使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大，那么，这个最大的最小距离是多少呢？
输入
第二行为n个用空格隔开的整数，表示位置xi。
输出
样例输入
5 3
1 2 8 4 9
样例输出
3
提示
把牛放在1,4,8这样最小距离是3
2≤n≤1e5 , 0≤xi≤1e9, 2≤m≤n
【思路】：
类似的最大值最小化问题，通常用二分法就可以很快地解决。我们定义：
设C(d)表示可以安排牛的位置，并使得最近的两头牛的距离不小于d。
那么问题就转换为求满足C(d)的最大的d，另外，最近的间距不小于d也可以看成是所有牛的间距都小于d，因此就可以用C(d)表示可以安排牛的位置，并使得任意的两头牛的距离不小于d。
对于这个问题的判断，使用贪心法便可非常容易地求解
1、对牛舍的位置x进行排序。
2、把第一头牛放入x0的牛舍。
3、如果第i头牛放入了xj间牛舍，则第i+1头牛就要放入满足xj+d<=xk的最小牛舍xk中。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N = 1e5+100; 5 const ll Inf = (1ll<<20); 6 ll a[N],A,B; 7 bool check(ll x) 8 ll tot = 1 ; 9 ll pre = 0; 10 for(int i=1;i<A;i++) 11 if( a[i] - a[pre] >= x ) 12 pre = i; 13 tot++; 14 15 16 if( tot >= B ) return true; 17 else return false; 18 19 int main() 20 21 ll L = 1, R = 0 , mid , ans = 0 ; 22 scanf("%lld%lld",&A,&B); 23 for(int i=0;i<A;i++) 24 scanf("%lld",&a[i]); 25 26 sort( a , a+A ); 27 R = a[A-1] - a[0] ; 28 while( L<=R ) 29 mid = (L+R) >> 1 ; 30 if( check( mid ) ) 31 ans = mid ; 32 L = mid + 1 ; 33 else 34 R = mid - 1 ; 35 36 37 return 0*printf("%lld\\n",ans); 38
【例题2】Best Cow Fences
题目描述
输入
第二行为n个用空格隔开的整数，表示Ai。
输出
样例输入
10 6
6 4 2 10 3 8 5 9 4 1
样例输出
6500
提示
1≤n≤1e5 , 1≤Ai≤2000
【注意】：这里指的序列并不是（我们字符串的序列，好比最长上升子序列），而是（子串）性的序列。
【思路】：
二分结果，判断“是否存在一个长度不小于L的子序列，平均数不小于二分的值”
如果把数列中每个数都减去二分的值，就转化为判定“是否存在一个长度不小于的L的子序列，子序列的和非负”。
下面着重解决两个问题：
1、求一个子序列，它的和最大，没有“长度不小于L”的限制
无长度限制的最大子序列和问题是一个经典的问题，只需O(n)扫描该数列，不断地把新的数加入子序列，当子序列和变成负数时，把当前整个子序列清空，扫描过程中出现过的最大子序列和即为所求。
2、求一个子序列，它的和最大，子序列的长度不小于L。
子序列和可以转化为前缀和相减的形式，即设sum_i 表示 A1~Ai的和，则有：
max i-j >=t Aj+1+Aj+2+……+Ai = max L <= i <= n sum - min 0<= j <= i-L sum j
仔细观察上面的式子可以发现，随着i的增长，j的取值范围0~i-L每次只会增加1。换而言之，每次只会有一个新的值假如minsum j 的候选集合，所以我们没有必要每次循环枚举j次，只需要用一个变量记录当前最小值，每次与新的取值sum i-L 取min就可以了。
解决问题2后，我们只需要判断最大子序列和是不是非负数,就可以确定二分上下界的变化范围了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N = 1e5+10 ; 4 const double eps = 1e-6 ; 5 typedef long long ll; 6 double a[N],b[N],sum[N]; 7 int n,m; 8 void Input() 9 cin >> n >> m ; 10 for ( int i=1 ; i<=n ; i++ ) 11 cin >> a[i] ; 12 13 14 int main() 15 16 ios_base :: sync_with_stdio(0) ; 17 cin.tie(NULL) ; cout.tie(NULL) ; 18 19 Input() ; 20 21 double L = -1e6 , R = 1e6 , Mid , Ans , Minz ; 22 while ( R-L > eps ) 23 Mid = (L+R) / 2 ; 24 for ( int i = 1 ; i<=n ; i++ ) 25 b[i] = a[i] - Mid ; 26 sum[i] = sum[i-1] + b[i] ; 27 28 Ans = -1e10 ; 29 Minz = 1e10 ; 30 for ( int i = m ; i<=n ; i++ ) 31 Minz = min( Minz , sum[i-m] ); 32 Ans = max ( Ans , sum[i] - Minz ) ; 33 34 if ( Ans >= 0 ) L = Mid ; 35 else R = Mid ; 36 37 cout << int ( R * 1000 ) << endl ; 38 return 0; 39
二、三分
三分法适用于求解凸性函数的极值问题，二次函数就是一个典型的单峰函数。
三分法与二分法一样，它会不断缩小答案所在的求解区间，二分法缩小区间利用的原理是函数的单调性，而三分法利用的则是函数的单峰性。
设当前求解的区间为[L,R]，令 m1 = L + (R-L) / 3 ，m2 = R - (R-L) / 3 ， 接着我们计算这两个点的函数值f(m1),f(m2),之后我们将两点中函数值更优的那个点成为好点（若计算最大值，则f更大的那个点就为好点，计算最小值同理），而函数值较差的那个点就称为坏点。
我们可以证明，最优点可能会与好点或坏点同侧。
如m1是好点，则m2是坏点。
因此，最后的最优点会 与m1 与m2的左侧 ，即我们求解的区间由 [L,R] 变为 [ L,m2 ] ，因此根据这个结论我们可以不停缩小求解区间，直到求出近似值。
1 double L = 0 , R = 1e9 ; 2 while ( R - L <= 1e-3 ) 3 double M1 = L + (R-L)/3 ; 4 double M2 = R - (R-L)/3 ; 5 if ( F(M1) < F(M2) ) 6 L = M1 ; 7 else 8 R = M2 ; 9
【例题3】曲线(curves)
题目描述
输入
接下来n行，每行3个整数a,b,c，用来表示每个二次函数的3个系数。注意：二次函数有可能退化成一次。
输出
样例输入
2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2
样例输出
0.0000
0.5000
提示
对于50%的数据，1≤n≤100；
对于100%的数据，1≤T≤10,1≤n≤1e5,0≤a≤100, 0≤∣b∣≤5000,0≤∣c∣≤5000。
【思路】
由于函数S是开口向上的二次函数(当a=0时，是一次函数)，由S的定义可知，S或者是一个先单调减、后单调增的下凸函数，或者是一个单调函数，F(x)=max(S(x))也满足单调性。选用三分法很容易求得某个区间内的最小值。
【代码】：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N = 1e4+100; 4 const double EPS = 1e-11 ; 5 int n; 6 double a[N],b[N],c[N]; 7 double F(double x) 8 double maxz = -0x7fffffff; 9 for ( int i=1 ; i<=n ; i++ ) 10 maxz = max ( maxz , a[i]*x*x + b[i]*x + c[i] ); 11 12 return maxz ; 13 14 int main() 15 int T ; 16 scanf("%d",&T); 17 while(T--) 18 scanf("%d",&n); 19 for(int i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i]); 21 22 double L = 0 , R = 1000, Lmid , Rmid ; 23 while ( R - L > EPS ) 24 Lmid = L + (R-L) / 3 ; 25 Rmid = R - (R-L) / 3 ; 26 if ( F(Lmid) <= F(Rmid) ) 27 R = Rmid ; 28 else 29 L = Lmid ; 30 31 32 printf("%.4f\\n",F(L) ) ; 33 34 return 0 ; 35
【习题1】数列分段
题目描述
例如，将数列4 2 4 5 1要分成3段：
若分为[4 2][4 5][1]，各段的和分别为6,9,1，和的最大值为9；
若分为[4][2 4] [5 1]，各段的和分别为4,6,6，和的最大值为6；
并且无论如何分段，最大值不会小于6。
所以可以得到要将数列4 2 4 5 1要分成3段，每段和的最大值最小为6。
输入
第2行包含N个空格隔开的非负整数Ai，含义如题目所述。
输出
样例输入
5 3
4 2 4 5 1
样例输出
6
提示
对于100%的数据，有N≤106，M≤N，Ai之和不超过109
【思路】
这个题目类似与愤怒的牛，求最大值的最小值，
二分答案，然后判断是否正确。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N = 1e5+100; 5 ll a[N],n,m; 6 bool check ( ll x ) 7 int cnt = 1 ; 8 ll sum = 0; 9 for (int i=1;i<=n;i++) 10 if ( sum + a[i] > x ) 11 cnt ++ ; 12 sum = a[i] ; 13 else 14 sum += a[i] ; 15 16 17 return cnt <= m ; 18 19 int main() 20 21 ll L = -0x7fffffff , R = 0 ; 22 scanf("%lld%lld",&n,&m); 23 for(int i=1;i<=n;i++) 24 scanf("%lld",&a[i]); 25 L = max ( a[i],L) ; 26 R += a[i] ; 27 28 ll mid , ans ; 29 while( L<=R ) 30 mid = L+R >> 1 ; 31 if( check(mid) ) 32 R = mid - 1 ; 33 ans = mid ; 34 else 35 L = mid + 1 ; 36 37 38 printf("%lld\\n",ans); 39 return 0; 40
【习题2】扩散
题目描述
e(u,a0),e(a0,a1),…e(ak,v)。
给定平面上的n个点，问最早什么时候它们形成一个连通块。
输入
输出
样例输入
2
0 0
5 5
样例输出
5
提示
对于100%的数据，满足1≤n≤50,1≤Xi,Yi≤1e9。
【思路】：
这个题目其实用了两方面：
1、连通块需要用并查集来完成。
2、一个点的扩散，就像一个菱形在坐标外扩散，然后只有当 两个点在t时间后相通即为：曼哈顿距离小于等于2t。
【代码】：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N = 55; 5 ll x[N],y[N]; 6 int pre[N]; 7 int Find(int x) 8 return pre[x] = ( x==pre[x] ? x : Find(pre[x]) ); 9 10 int n; 11 void Init() 12 scanf("%d",&n); 13 for(int i=1;i<=n;i++) 14 scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]) ; 15 16 17 int vis[55]; 18 bool check(ll val) 19 int cnt = 0 ; 20 memset ( vis, 0 , sizeof vis ); 21 22 for (int i=1 ;i<=n;i++) pre[i] = i ; 23 for(int i=1;i<=n;i++) 24 for(int j=i+1;j<=n;j++) 25 if( abs(x[i]-x[j]) + abs(y[i]-y[j]) <= 2*val ) 26 int Fu = Find(i) ; 27 int Fv = Find(j) ; 28 if( Fu != Fv ) 29 pre[Fv] = Fu ; 30 31 32 33 34 35 for(int i=1;i<=n;i++) 36 cnt += (pre[i]==i); 37 38 return cnt == 1 ; 39 40 int main() 41 42 Init(); 43 ll L = 0 , R = 1e9 , Mid ,ans =0 ; 44 while ( L<=R ) 45 Mid = L+R >> 1 ; 46 if ( check(Mid) ) 47 R = Mid - 1 ; 48 ans = Mid ; 49 else 50 L = Mid + 1 ; 51 52 53 printf("%lld\\n",ans ); 54 return 0; 55 56 /* 57 58 5 59 5 5 60 7 8 61 6 8 62 5 8 63 4 6 64 65 */
【习题3】灯泡（ZOJ 3203）
题目描述
输入
对于每组测试数据，仅一行，包含三个实数H，h和D，H表示灯泡的高度，h表示mildleopard的身高，D表示灯泡和墙的水平距离。
输出
样例输入
3
2 1 0.5
2 0.5 3
4 3 4
样例输出
1.000
0.750
4.000
提示
T≤100，10^−2≤H,h,D≤1e3，10^−2≤H−h
【题解】
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const double eps = 1e-7; 5 double H,h,D; 6 double F(double x) 7 double L = H - (H-h)*D / x ; 8 return D-x+L; 9 10 int main() 11 12 int T; 13 scanf("%d",&T); 14 while(T--) 15 scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D); 16 double L = D*(H-h)/H , R = D ; 17 while ( R-L >= eps ) 18 double Lmid = L + (R-L)/3 ; 19 double Rmid = R - (R-L)/3 ; 20 if ( F(Lmid) <= F(Rmid) ) 21 L = Lmid ; 22 else 23 R = Rmid ; 24 25 26 printf("%.3f\\n",F(L)); 27 28 return 0 ; 29
【习题4】传送带
题目描述
输入
第二行是4个整数，表示C和D的坐标，分别为Cx，Cy，Dx，Dy
第三行是3个整数，分别是P，Q，R
输出
样例输入
0 0 0 100
100 0 100 100
2 2 1
样例输出
136.60
提示
对于100%的数据，1<= Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy<=1000，1<=P，Q，R<=10
【题解】：
分三部分来计算，三分套三分，第一个三分是分AB段的，第二个三分是分CD段的，用百分比来进行三分，最后得到的点连接。
个人感觉这个题目 写倒不是什么问题，关键是可能没想出来还能这样用百分比来写。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const double eps = 1e-6; 4 double Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Dx,Dy ; 5 double P , Q , R ; 6 typedef struct node 7 double x,y; 8 point ; 9 point A,B,C,D,p1,p2; 10 double dis ( point u , point v ) 11 return sqrt( (u.x - v.x)*(u.x - v.x) + 12 (u.y - v.y)*(u.y - v.y) ) ; 13 14 double Cal ( double u , double v ) 15 p1.x = Ax + (Bx-Ax)*u ; 16 p1.y = Ay + (By-Ay)*u ; 17 18 p2.x = Cx + (Dx-Cx)*v ; 19 p2.y = Cy + (Dy-Cy)*v ; 20 21 return dis(A,p1) / P + dis(p1,p2) / R + dis(p2,D) /Q ; 22 23 double F (double u) 24 double L = 0 , R = 1 ; 25 double Lmid ,Rmid ; 26 while ( R-L >= eps ) 27 Lmid = L + ( R-L )/3 ; 28 Rmid = R - ( R-L )/3 ; 29 if( Cal(u,Lmid) <= Cal(u,Rmid) ) 30 R = Rmid ; 31 else 32 L = Lmid ; 33 34 35 return Cal(u,L); 36 37 int main() 38 39 ios_base :: sync_with_stdio(0) ; 40 cin.tie(NULL) ; 41 cout.tie(NULL); 42 43 cin >> Ax >> Ay >> Bx >> By >> Cx >> Cy >> Dx >> Dy ; 44 cin >> P >> Q >> R ; 45 A.x = Ax ; A.y = Ay ; 46 B.x = Bx ; B.y = By ; 47 C.x = Cx ; C.y = Cy ; 48 D.x = Dx ; D.y = Dy ; 49 double L = 0 , R = 1 ; 50 double Lmid ,Rmid ; 51 while ( R-L >= eps ) 52 Lmid = L + ( R-L )/3 ; 53 Rmid = R - ( R-L )/3 ; 54 if( F(Lmid) <= F(Rmid) ) 55 R = Rmid ; 56 else 57 L = Lmid ; 58 59 60 printf("%.2f\\n",F(L)); 61 return 0; 62
以上是关于二分与三分的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章