逆序对的两种求法（复习）

Posted 2021-01-13 water-mi

逆序对

对于一个数列(a_1...a_n)，定义一有序对((i,j))当且仅当(i<j)且(a_i>a_j)为逆序对。接着我们来考虑怎么求

*1. 归并排序

回顾归并排序的过程，将当且的数列([l,r])分成两个长度相等的部分([l,mid])和([mid+1,r])，分治下去排序，每次合并的代价是区间的长度，所以得到时间复杂度为：
[ T(n)=2T(frac{n}{2})+O(n) ]
根据(master)定理可知时间复杂度为(Theta(nlog_2n))

int MergeSort (int l, int r) {
    if (l == r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    MergeSort(l, mid), MergeSort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, t = l;
    while(i <= mid && j <= r)
        if (a[i] <= a[j]) b[t++] = a[i++];
        else b[t++] = a[j++];
    while(i <= mid) b[t++] = a[i++]; while(j <= r) b[t++] = a[j++];
    for(int k = l; k <= r; ++k) a[k] = b[k];
}

等一下！你讲了这么久，到底怎么求逆序对？？？

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我们截取一段代码：

else b[t++] = a[j++]

由于归并排序是将一个区间分成左右两端，故右边一段中的任何一个元素一定在左边一段中任何一个元素之后，这种性质同样用于分治处理，所以，当我们加入一个右区间元素时，此时左区间中剩下没加入的元素一定就比它大，所以改写一下：

else b[t++] = a[j++], ans += mid - i + 1;//ans为逆序对个数

由于分治的性质，所以每个逆序对都会不重不漏地选到。

*2. 树状数组

(BIT)作为一种巧妙的数据结构，其利用了一种类似于前缀和的思想。通过权值(BIT)来求解逆序对。

其算法核心在于，先确立(a_j<a_i)的大小关系，按从小到大插入其下标，通过计算前缀和的方式来求解。

比如我们现在有一个数(a_i)，我们向(BIT)中插入其下标(i)后计算当前小于等于其下标的数的个数(tot)，则答案就是(i-tot)。

因为此时(a_i>a_j)((j)为之前已插入的数的下标)，所以(i-tot)即位置在(i)之后的个数就是当前(i) 对答案产生的贡献（满足(a_j<a_i&j>i)）。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
using std::sort;

const ll N = 5e5 + 10;
ll n, a[N], b[N], c[N], ans;

inline bool cmp (ll x, ll y) { return a[x] < a[y] || (a[x] == a[y] && x < y); }
inline ll lowbit (ll x) { return x & (-x); }
inline void add (ll x, ll y) { for (; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += y; }
inline ll query (ll x) { ll y = 0; for (; x > 0; x -= lowbit(x)) y += c[x]; return y; }

int main () {
    scanf ("%lld", &n);
    for (ll i = 1; i <= n; ++i) scanf ("%lld", a + i), b[i] = i;
    sort (b + 1, b + n + 1, cmp);
    for (ll i = 1; i <= n; ++i) add(b[i], 1). ans += i - query (b[i]);
    printf ("%lld
", ans);
    return 0;
}