warshall算法

Posted 2021-01-09 jimmy-hacks

传递关系闭包算法

开始，先把关系集合转化为0,1矩阵，使得方便关系运算。

对于一般算法，通过矩阵点乘的来迭代的方式得到传递关系闭包的集合。

代码如下：

typedef struct matrix{//定义关系矩阵
    int n;
    int a[10][10];
}Matrix;

Matrix getTranstiveClosure(Matrix matrixA,int matrix_n){
    for(int num=1;num<matrix_n;num++){//R^n,迭代n-1次按照C语言，0号位置为数组第一位
        for(int i=0;i<matrix_n;i++){//开始矩阵布尔积运算
            for(int j=0;j<matrix_n;j++){
                for(int k=0;k<matrix_n;k++){
                    if(matrixA.a[i][j]==0)//优化或运算
                    matrixA.a[i][j]=(matrixA.a[i][k]&matrixA.a[k][j]);
                }
            }
        }
    }
    return matrixA;
}//M=getTranstiveClosure(matrixA);来得到传递闭包矩阵

其中矩阵点乘的算法复杂度为O(n^3)，迭代次数为n-1次(得到R^n为结果),算法复杂度为O(n^4)。

对于此类算法，特点为为了找到某一关系(a,b)，要把其他的元素作为中间元素来判断是否存在传递关系。

例如：a,b,c,d,e属于A集合，R为A的关系集合，为了找到(a,b)，需要把c,d,e作为中间元素，如假设(a,c)(c,b)∈R，

(a,c)(c,b)->(a,b)∈R来得到传递关系。简言之，针对所求的关系，去遍历中间元素的关系去判断。

 

下面我们来看看warshall算法。

代码如下：

Matrix warshall(Matrix matrixB,int matrix_n){
    for(int k=0;k<matrix_n;k++){//K值选择中间量的元素来补全传递关系的路线
        for(int i=0;i<matrix_n;i++){//遍历新矩阵
            for(int j=0;j<matrix_n;j++){
                if(matrixB.a[i][j]==0){//优化或运算
                    matrixB.a[i][j]=matrixB.a[i][k]&matrixB.a[k][j];
                }//如(a->b)&(b->c)-->(a->c)的关系
            }
        }
    }
}

warshall算法的算法复杂度为O(n^3)，其巧妙之处就在于无需矩阵的迭代，通过固定中间元素来进行判断关系，并对中间元素逐次遍历，

并对传递关系进行迭代，需要遍历的中间元素为n个，所求矩阵遍历操作为n^2，在n规模足够大的时候warshall算法能体现出优越性。

总结一下，对于同样矩阵上的一个所求关系的元素，一般算法需要的操作为n*(n-1)，而warshall算法仅仅需要n次！

warshall例子：同样对于a,b,c,d,e∈A，关系集合R，若(a,b)(b,c)(c,d)(d,e)∈R，先把a作为中间元素，关系集合没变，

再是b，多了(a,c)∈R，再c，(a,d)，再d，(a,e)。算法与中间元素的遍历顺序没有关系，因为开始时，路线起始点确定了，遍历元素只确定传递关系。