单调栈以及单调队列

Posted 2021-01-08 fonddream

单调栈：

• 定义：

       栈内的元素，按照某种方式排列下（单调递增或者单调递减），如果新入栈的元素破坏了单调性，就弹出栈内元素，直至满足单调性。

• 作用：单调栈可以找到从左/右遍历第一个比它大/小的元素的位置。时间复杂度为O(N)；

• 实现方式：（以维护单调递增栈为例）

　　进栈操作：每次进入栈时，先检验栈顶元素和进栈元素的大小，如果小于，那么直接入栈；否则，大于等于进栈元素的出栈，直到栈空或者栈顶元素小于入栈元素。

例如：3 8 2 3 1 

• 初始时刻栈为空，3入栈。.....................................栈内元素（3）；
• 8要进栈，8比3大，直接入栈。..............................栈内元素（3，8）；
• 2要进栈，2比8小，全部弹出，2入栈。.................栈内元素（2）；
• 3要进栈，3比2大，直接入栈。..............................栈内元素（2，3）；
• 1要进栈，1比3小，全部弹出，1入栈。.................栈内元素（1）；

根据此时求出从左往右第一个比它小的元素。

 3   8   2   3   1

 0   3   0   2   0

代码：

stack<int>s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
     while(s.size()&&s.top()>=a[i])
     {
           s.pop();
     }
     if(s.empty())
          l[i]=0;
     else
          l[i]=s.top();
     s.push(a[i]);
}

View Code

stack<int>s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
     while(s.size()&&s.top()>=a[i])
     {
           s.pop();
     }
     if(s.empty())
          l[i]=0;
     else
          l[i]=s.top();
     s.push(a[i]);
}

 

例题：poj 2559

题意：给出一个柱形统计图，它的每个项目的宽是1，高度和具体问题有关，现在编辑求出这个柱形图中的最大面积的长方形(n<=le5)

例如：2，1，4，5，1，3，3

面积为8。

分析：

• 我们首先想到的是逐个考虑每个项目，求出每个项目被包含的长方形。
• 求出每个被包含的长方形，那么左右两边的高度不能比项目本身的高度低，就是向左右两边延展。
• 那么用单调栈，时间复杂度是2N：

1. 求出两边比项目第一个小的位置。为什么不是取两边比项目第一个大的位置呢？因为如果是大的位置，它们之间可能包含比项目本身要小值，就不能达到连续。
2. 分别对项目进行左右延伸。

单调队列：

• 定义：

       队列中元素之间的关系具有单调性，而且，队首和队尾都可以进行出队操作，只有队尾可以进行入队操作。

• 作用：

      对于维护好的单调队列，单调队列是有序的，那么取出最大值（最小值）的复杂度是O(1）；

      可以拿来优化DP；

• 操作：

1. 插入：若新元素从队尾插入后会破坏单调性，则删除队尾元素，直至插入后不再破坏单调性为止，在将其插入单调队列。这和单调栈的插入一样。
2. 获取最优值：访问首尾元素。
3. 定长连续子区间的最值问题

例题：

题意：给定一个长度为n的数列，求长度为k的定长连续子区间{a_1，a_2，a_3，a_{4............},a_k-1，a_k}...............中每个区间的最大值和最小值。

分析：

• 当我们看到这个第一个想法应该是枚举起始元素a_x，然后再求a_x到a_k-1+x的最大（小）值，那么区间的复杂度为O(nk)；
• a_l，a_l+1，a_{l+2....................}a_r-1，a_r，a_r+1，以最大值为例：

1. 当我们求区间（l，r）最大值时：=max{a_l，max(a_l+1，a_{l+2..........}a_r-1，a_r)}；
2. 当我们求区间（l+1，r+1）最大值时：=max{a_r+1，max(a_l+1，a_{l+2..........}a_r-1，a_r)}；
3. 那么再求区间（l+1，r+1）时，我们完全没必要在重新扫描一次。只有当最值在a_l才需要重新扫描。
4. 那么如果在区间（l，r）求最大值时，l<i<j<r，如果a_i<a_j，那么在向右移动的过程中a_i就失去了效果，这就与单调队列弹出所不符合单调的元素性质一样。
5. 当我们将区间从（l，r）移动到（l+1，r+1）时，我们将a_r+1插入单调队列中，若队首元素不在（l，r）区间中，那么说明最大值不是（l，r）区间的数，清除队首元素（出队）；

例如：4  1  3  2  7  5  6   n=7，k=3；求长度为k的连续子序列的最大值。

• 初始队列为空，4入队.....................................................队列元素（4）；
• 进队元素为1，1比4小，直接入队...................................队列元素（4，1）；
• 进队元素为3，3比1大，弹出1，3入队...........................队列元素（4，3）；那么最大值为4；
• 进队元素为2，2比3小，直接入队...................................队列元素（4，3，2）；因为4不在a₂~a₄元素中，所有要先弹出4元素，此时最大值为3，队列元素（3，2）；
• 进队元素为7，7比4大，全部弹出...................................队列元素（7）；此时最大值为7；
• 进队元素为5，5比7小，直接入队...................................队列元素（7，5）；此时最大值为7；
• 进队元素为6，6比5大，弹出5，6入队...........................队列元素（7，6）；此时最大值为7；