指数对数以及根式的运算

Posted 2021-01-06 wanghai0666

1、指数的运算：

公式：(a^mcdot a^n=a^{m+n})；

((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn})；

((acdot b)^n=a^ncdot b^n)；

应用：(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2)；

(9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2)；

(2^x+2^x=2^{x+1})；

(2^{x+1}-2^x=2^xcdot 2-2^x=2^x(2-1)=2^x)；

(2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1})；

(2^{x+1}+2^x=3cdot 2^x)；

2、对数的运算

①、对数恒等式：(a^{log_aN}=N(a>0，a eq 1，N>0))

证明：由(a^b=N)得到(b=log_aN)，代入(a^b=N)即得到(a^{log_aN}=N)。

公式的作用：从左到右是化简，从右向左是常数指数化。

(fbox{易错的运算例})

(2^{-log_23}=cfrac{1}{3})；

(4^{frac{1}{2}log_210}=(4^{frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10)；

(7^{-log_7cfrac{1}{2}}=2)；

(4^{frac{1}{2}+log_210}=4^{frac{1}{2}}cdot 4^{log_210}=2cdot 2^{log_2{10}^2}=200)；

(2^x>3Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}Longrightarrow x>log_23)；

(log_3[log_3(log_4;^x)]=0)，解得(log_3(log_4;^x)=1)，解得(log_4;^x=3)，解得(x=64)

②、对数换底公式：

(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a eq 1;c>0,c eq 1;b>0))

证明：设(log_ab=x)，则(a^x=b)，两边取以(c)为底的对数，

得到(log_c{a^x}=log_cb)，即(xlog_ca=log_cb)，

即(x=log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca})，

则有(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca})。

常用结论：

(log_abcdot log_bccdot log_cd= log_ad)；

用换底公式得到

(cfrac{lgb}{lga}cdot cfrac{lgc}{lgb}cdotcfrac{lgd}{lgc}=cfrac{lgd}{lga}=log_ad)。

故有(log_ab=cfrac{1}{log_ba})，

故遇到函数(f(x)=log_2x+log_x2(xin[2,3]))时常可以考虑均值不等式或者对号函数。

如(f(x)=log_2x+cfrac{1}{log_2x})

③、(log_{a^m}{b^n}=cfrac{n}{m}log_ab(m，nin R，a>0，a eq 1，b>0))

证明：使用换底公式，

(log_{a^m}{b^n}=cfrac{lgb^n}{lga^m})

(=cfrac{nlgb}{mlga}=cfrac{n}{m}cdotcfrac{lgb}{lga})

(=cfrac{n}{m}log_ab)。

常用结论：(log_23=log_49)；(log_32=log_94)；

(log_24=log_39)；(log_42=log_93)；

(log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=cfrac{1}{3}log_25)；

④解如下的不等式组，求(t)的取值范围

(egin{cases}log_3tge 0\\log_3(log_3t)ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0end{cases})

求解(log_3tge 0=log_31)得到(tge 1①)；

求解(log_3(log_3t)ge 0=log_31)得到(tge 3②)；

求解(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31)得到(3 < t <27③)；

求交集得到(3 < t < 27)，故选B。

3、根式的运算

二重根式的化简，如化简(sqrt{7+4sqrt{3}})

分析：设((a+b)^2=7+4sqrt{3})，由于是二重根式，

则有(egin{cases}a^2+b^2=7\\2ab=4sqrt{3}end{cases})，

解得(a=2，b=sqrt{3})或(b=2，a=sqrt{3})

即有(sqrt{7+4sqrt{3}}=sqrt{(2+sqrt{3})^2}=2+sqrt{3})。

4、例题

【2017全国卷1，文科第17题高考真题】

记(S_n)为等比数列({a_n})的前(n)项和，已知(S_2=2，S_3=-6)。

（1）求数列({a_n})的通项公式。

分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？

解方程组得到(a_1=-2，q=-2)，

故({a_n})的通项公式(a_n=-2cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n)。

（2）求(S_n)，并判断(S_{n+1}，S_n，S_{n+2})是否成等差数列。

分析：先求解

(S_n=cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q})

(=cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)})

(=cfrac{-2+2cdot (-1)^ncdot 2^n}{3})

(=-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3})。

接下来你得意识到，

(S_n)是个关于自变量(n)的函数，

故由此我们应该能写出(S_{n+1})，(S_{n+2})

至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，

即验证(S_{n+2}+S_{n+1})是否等于(2S_n)。

判断如下：(S_{n+2}+S_{n+1})

(=-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}cfrac{2^{n+3}}{3}-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}cfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncdot (-1)^2cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^ncdot (-1)^1cfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^n(cfrac{2^{n+2}cdot 2}{3}-cfrac{2^{n+2}}{3}))

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

(=2[-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n)，

故(S_{n+1}，S_n，S_{n+2})成等差数列。

对正整数(n)，设曲线(y=x^n(1-x))在(x=2)处的切线与(y)轴交点的纵坐标为(a_n)，则数列({cfrac{a_n}{x+1}})的前(n)项和的公式是________.

分析：(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1})，则(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n)，

则(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)cdot 2^n)

又切点为((2，-2^n))，则切线方程为(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2))，

令(x=0)，得到切线与(y)轴交点的纵坐标(y=(n+1)2^n=a_n)，

令(b_n=cfrac{a_n}{n+1}=2^n)，

数列(cfrac{a_n}{n+1})的前(n)项和为

(T_n=2+2^2+2^3+cdots+2^n=cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2)；

解对数方程：(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2)

分析：要使得原方程成立，必须先满足条件(9^{x-1}-5>0①)， (3^{x-1}-2>0②)，

在此前提下，原方程等价于(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2));

即(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2))，

即(9^{x-1}-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即((3^{x-1})^2-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即 (3^{x-1}=1)，或者(3^{x-1}=3)，

解(3^{x-1}=1)， 即(3^{x-1}=3^0)，解得(x=1)，

解(3^{x-1}=3)， 即(3^{x-1}=3^1)，解得(x=2)，

验证：将(x=1)和(x=2)代入①②两式，舍去(x=1)，保留(x=2)，

故方程的根为(x=2)。

求值：(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5})