为什么除法，开方，求对数比乘法，乘方，求指数更难

Posted 2021-12-15 dog250

除法为什么比乘法更难，至少是看上去更麻烦？

开$n$次方为什么比乘$n$次方更难？

求对数为什么比求指数更难？

尺规三等分角为什么难？

这些背后有没有一些普遍的规律？我们又如何去利用这些规律？

先看乘法，除法，两者互为逆运算：

$y=a\times x$

若$x<1$，上式则是除法，反之则为乘法。乘法对$a$进行复制，除法对$a$进行分割。

此时千万不要引入阿贝尔群，一旦引入加法和减法，乘法和除法就是一回事了，在纯数学有理数看来，$3$和$\frac{1}{3}$区别并不大，纯数学无法给出物理意义。

继续看乘方，开方，两者互为逆运算：

$y=x^a$

若$a<1$，上式则是开方，反之则为乘方。乘方对$x$进行$a$次$x$倍复制，开方对$x$进行分割。

指数，对数，两者互为逆运算：

$y=a^x$
$x={\log }_{a}y$

指数对$a$进行$x$次$a$倍复制，对数对$y$进行分割。

尺规等分角也是分割操作。

结论是，相对简单的运算都是复制自身的运算，而复杂的运算则是分割自身。

若从非数学角度看这件事，有很多有意思的说法：

• 复制自身，继续保持即可，因此简单，分割自身，则需要改变，因此复杂。
• 复制操作，自身为分量，自身为模版，对外扩张，无约束，分割操作，自身为总量，为约束。
• …

有人会说，乘法也不易，$12345\times 87652$和对应的除法难度相当。然而大数乘法虽看上去是不易，但还是在复制，乘法(包括乘方，求指数)所有的操作本质上都是在累加计数，但分割操作本质上需要的是测量。

复制操作的每一步是累加计数，分割操作每一步都是测量，测量需要进行判断，换句话说，在做除法的时候，你要不断问“谁乘以3等于28？”这类问题，你觉得可以脱口而出是因为有乘法口诀表，否则就需要一次二分查找，但对于乘法，只需要将3个9累加在一起就行了，最后剩1。

任何复制一定会在边界结束，除了1和自身，没有一个分割操作在事前可以保证在边界结束。未来不可预期，只能测量并验证。

将简单和困难归结为复制和分割是一个开始，进一步又将其归结为累加和测量：

• 累加：计数并求和
• 测量：搜索并判断

所有加法，乘法，乘方，指数运算都是累加计数，试想不用计数的情景，我们只是单纯的进行复制，6碗豆子倒进一个坛子很容易，但是把这一坛子豆子均分成6碗呢？这就是乘法和除法的区别。

现在揭开谜底。信息论可以解释。

所有的复制操作均是熵增的，所有的分割操作都是熵减的，熵增是天然趋势，而熵减则需要额外的信息，维持熵减便需要额外的能量。

任何复制操作的信息熵最后都是最大，而分割操作的信息熵则偏小且各不相同。

如果$N$颗同样的豆子被倒进同一个坛子模拟复制操作，则最终的信息熵是最大的，因为这些豆子随意怎么排列在一起都可以。简化模型，计算一下信息熵：

$H_{mix}=-\sum _{i=1}^N\frac{1}{N}\log \frac{1}{N}=\log N$

现在模拟分割操作，将这一坛子豆子均分成3份，信息熵减少，因为创造了信息，这便加了约束，这些豆子必须被均分在3堆里，对于每一颗豆子而言，便不能随便挑选自己的位置了，必须满足均分成3等份：

$H_{div}=-\sum _{i=1}^{N/3}\frac{3}{N}\log \frac{3}{N}=\log \frac{N}{3}<H_{mix}$

对于开方，求对数操作，约束会更强，信息熵便会更小。

最后，形象地看，乘法的交换律，结合律体现了复制操作融合的本质，而分割操作并不满足交换律，结合律。

理解了这个理论，就很容易理解在信息安全领域使用的不可逆函数，事实上就是在利用分割操作的熵减原则，耗尽攻击者的能量来保护自身。不管是求离散对数，还是分解质因数，在椭圆曲线坐标或者大素数方面利用其极强的约束，都是在利用熵减，本质上都是在不断测量并验证，若想命中，则需要巨大的信息量，等效于巨大的能耗，或者巨长的时间。

周三晚上下班回到家，小小还没有睡觉，我想和小小讨论个问题，我问她：你觉得为什么除法比乘法难？先看是不是，再回答为什么。
小小脱口而出：除法竖式里其实也需要一个乘法，而且除不尽时还要小数，但乘法就是乘法，竖式就是相加，不用管小数。
(已经接近数域封闭性了…)我说不用现在回答，这个问题值得长期思考。所以我先写一个我的回答，就是本文。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。