指数函数 对数函数 冥函数 性质

Posted 2020-08-11

指数函数、对数函数与幂函数

 

教学目标：

1、理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。

2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的图象、单调性与特殊点。

3、了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x²，y=x³，了解幂函数的图象变化情况。

4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

 

教学重点：指、对数函数的图解与性质。

教学难点：指、对数函数的性质的运用。

 

二. 知识点归纳

1. 根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，（）ⁿ=a

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=。

③根式的基本性质：，（a0）。

2. 分数指数幂的运算性质： 

    

3. 的图象和性质：

	a>1	0<a<1
图象
性质	（1）定义域：R
	（2）值域：（0，+∞）
	（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
	（4）在 R上是增函数	（4）在R上是减函数
	（5）当x>0时，y>1， 当x<0时，0<y<1，	（5）当x>0时，0<y<1 当x<0时，y>1
	（6）x轴为渐近线

4. 指数式与对数式的互化：。

5. 重要公式：，。对数恒等式。

6. 对数的运算法则

如果，有

7. 对数换底公式：

  （ a > 0 ，a ? 1 ，m > 0 ，m ? 1，N>0）。

8. 两个常用的推论：

①，。

②（ a，b > 0且均不为1）。

9. 对数函数的性质：

	a>1	0<a<1
图 象
性 质	（1）定义域：（0，+∞）
	（2）值域：R
	（3）过点（1，0），即当时，
	（4）时  时		（4）时    时
	（5）在（0，+∞）上是增函数		在（0，+∞）上是减函数
	（6）y轴为渐近线

10同底的指数函数与对数函数互为反函数

11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

（1）a^f（x）=b?f（x）=log_ab，log_af（x）=b?f（x）=a^b; （定义法）

（2）a^f（x）=a^g（x）?f（x）=g（x），log_af（x）=log_ag（x）?f（x）=g（x）>0（转化法）

（3）a^f（x）=b^g（x）?f（x）log_ma=g（x）log_mb（取对数法）

（4）log_af（x）=log_bg（x）?log_af（x）=log_ag（x）/log_ab（换底法）

12. 指数不等式与对数不等式的类型：

（1）a^f（x）＞b?讨论a是否大于1

（2）a^f（x）＞a^{g（x） ）}?讨论a是否大于1。

（3）a^f（x）＞b^g（x）?f（x）log_ma＞g（x）log_mb（取对数法m>1）

（4）log_af（x）>log_bg（x）?log_af（x）>log_ag（x）/log_ab（换底法）

13. y=x^a（其中a为常数），

当a＞0时图象过点（0，0）与（1，1）；在上是增函数

当a＜0时，图象过点（1，1），在上是减函数。

 

【典型例题】

例1 计算：

（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）原式

                  

    （2）原式

             

    （3）原式

             

 

例2 已知，求的值。

解：∵，∴，∴，∴，

    ∴，∴，

    又∵，

   ∴

 

例3 已知，且，求的值。

解：由得：，即，∴；

同理可得，∴由得 ，

∴，∴，∵，∴

 

例4 设，，且，求的最小值。

解：令 ，∵，，∴

    由得，∴，

∴，∵，∴，即，∴，

∴，

∵，∴当时，

 

例5  设、、为正数，且满足。

    （1）求证：

    （2）若，，求、、的值。

证明：（1）左边

；

解：（2）由得，

∴……………①

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵， ∴………………………………④

由③、④解得，，从而

 

例6 （1）若，则，，从小到大依次为    ；

    （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为          ；

    （3）设，且（，），则与的大小关系是（   ）

    A.      B.      C.     D. 

（4）（全国2理4）以下四个数中的最大者是

（A） （ln2）²                   （B） ln（ln2）                  （C） ln        （D） ln2

（5）（山东理4） 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有a值为

（A）             （B）          （C）                （D） 

解：（1）由得，故

    （2）令，则，，，，

    ∴，∴；

同理可得：，∴，∴

（3）取，知选

（4）∵ ，∴ ln（ln2）<0，（ln2）²< ln2，而ln=ln2<ln2，

∴ 最大的数是ln2，选D。

（5）答案：A    分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

 

例7 已知函数f（x）＝，g（x）＝，

（1）证明f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间。

（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2），f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）关于原点对称。

又f（－x）= =－f（x），∴f（x）为奇函数。

设0<x₁<x₂，则

f（x₁）－f（x₂）＝

∵，，∴

f（x）为（0，＋∞）增函数，又为奇函数，单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）

（2）计算得f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g（3）＝0

由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f（x²）－5f（x）g（x）＝0

证明如下：

∵

说明：问题的结论是开放的，要我们去探求，利用从特殊到一般的方法得到结论，当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。

 

例8 已知函数，

求证：（1）函数在上为增函数；

（2）方程没有负数根。

证明：（1）设，

则

，

∵，∴，，，

∴；

∵，且，∴，∴，

∴，即，

∴函数在上为增函数；

另法：∵，

∴

∴函数在上为增函数；

（2）假设是方程的负数根，且，则，

即，       ①

当时，，∴，∴，

而由知  ∴①式不成立；

当时，，∴，∴，而

∴①式不成立

综上所述，方程没有负数根

 

例9　已知函数（且）

求证：（1）函数的图象在轴的一侧；

    （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于。

证明：（1）由得：，

∴当时，，即函数的定义域为，

此时函数的图象在轴的右侧；

当时，，即函数的定义域为，

此时函数的图象在轴的左侧

∴函数的图象在轴的一侧；

（2）设、是函数图象上任意两点，且，

则直线的斜率，

，

当时，由（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴；

当时，由（1）知，∴，

∴，

∴，∴，又，∴

∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于

 

【模拟试题】

1. 已知集合，若，，则，则运算可能是（ 　 ）

（A）加法          （B）减法          （C） 除法        （D）乘法     

2. 已知集合，，则满足条件的映射的个数是 （ 　  ）

（A）2             （B）4            （C）5           （D）7

3. 某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是      （  ）

4. 定义两种运算：，，则函数为（   ）

（A）奇函数                      （B）偶函数   

（C）奇函数且为偶函数            （D）非奇函数且非偶函数

5. 偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 （    ）

      （A）                       （B）

       （C）  　　　　　　（D）

6. 如图，指出函数①y=a^x;②y=b^x;③y=c^x;④y=d^x的图象，则a，b，c，d的大小关系是

A. a<b<1<c<d　　　　              B. b<a<1<d<c

C. 1<a<b<c<d　　　　              D. a<b<1<d<c

7. 若log_x3>log_y3>0，则下列不等式恒成立的是 （　　　）

A. <y^–1/3                      B. <3^x–y    

C. <3^1–y   　          D. >3^1–y 

8. 已知函数f（x）=lg（a^x–b^x）（a，b为常数，a>1>b>0），若x? （1，+∞）时，f（x）>0恒成立，则（　　）

A. a–b?1            B. a–b>1            C. a–b?1        D. a=b+1

9. 如图是对数函数y=log_ax的图象，已知a取值，4/3，3/5，1/10，则相应于①，②，③，④的a值依次是               

10. 已知y=log_a（2–ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是    

11. 已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C。试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____

12. 设函数f（x）=lg，其中a?R，如果当x?（–∞，1）时，f（x）有意义，求a的取值范围。

13. a为何值时，关于x的方程2lgx–lg（x–1）=lga无解？有一解？有两解？

14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

15. 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：

（1）对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1

（3）若，，，则有

（Ⅰ）试求f（0）的值；

（Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；

（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有f（x）≤2x。

16. 设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数

    （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

    （2）证明：当时，，这里t为常数；

    （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M₁作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

 

 

 

 

【试题答案】

1. D           2. D        3. C               4. A               5. D

6. B          7. D      8. A

9. ，4/3，3/5，1/10，          

10. （1，2）

11. ，，　（）

12. a?–3/4

13. 0<a<4时，无解；a=4时，方程有一解；a>4时，方程有两解

14. 3.75，600，450

15. （I）令，

依条件（3）可得f（0+0） ≥f（0）+f（0），即f（0）≤0

又由条件（1）得f（0） ≥0，则f（0）=0

（Ⅱ）任取，可知，

则，

即，故

于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1

因此，当x=1时，f（x）有最大值为1，

（Ⅲ）证明：

研究①当时，f（x）≤1<2x

②当时，

首先，f（2x） ≥f（x）+f（x）=2f（x），∴

显然，当时，

成立

假设当时，有成立，其中k＝1，2，…

那么当时，

可知对于，总有，其中n=1，2，…

而对于任意，存在正整数n，使得，

此时，

③当x=0时，f（0）=0≤2x

综上可知，满足条件的函数f（x），对x∈[0，1]，总有f（x） ≤2x成立

16. （1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，

即与相同，

即 对一切实数x均成立

特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立

故不存在两个不同点对应同一函数

（2）当时，可得常数a₀，b₀，使

由于为常数，设是常数

从而

（3）设，由此得

（，）

在映射F下，的原象是（m，n），则M₁的原象是

消去t得，即在映射F下，M₁的原象是以原点为圆心，为半径的圆