12(13)个球1个不同重量称3次称出的详细分析

Posted 2020-10-12

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　　作者：窗户

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　　因为网上这道题没有详细思路，我想我还是补个详细思路。这道题目描述是这样的：

　　有12个一模一样的球，其中11个重量一模一样，剩下的1个重量和其他的不一样。使用一个无砝码的天平称3次，找出重量不一样的这一个球，以及知道这个球比其他的球重还是轻。

　　这个题目似乎很早就出来了，估计有十几年吧，曾以不一样的身份出现在各个帖子里，有的时候号称是微软笔试题，也曾被称为google笔试题，还有说是腾讯笔试题的。至于它真实的出处，我们不必在意。另外还有13个球的版本的，只是只要找出球就行了。倒是这道题的详细解题步骤，这些年来似乎从未看到，于是，今天我就来给个详细的分析步骤。

　　虽然用信息论的术语，比如信息墒、信息论下界来描述这个问题会比较规范，不过我想说的更加通俗一点。

　　我们知道无砝码的天平每次称量会有三种结果：两边一样重，左边重，右边重。根据组合里的乘法原理，三次天平称量有27种结果，而题目的目的是要区分12(球的数目)*2(重或轻)=24种不同情况。我们给出的称法其实是算法，算法运行的过程中只有遇到每一次称重的不同结果，才会面临着不同的分支，从而计算出不同的结果。于是，我们每一种称量结果，会对应着不同的情况。总共最多有27种称量结果，而只有24种情况需要分辨，如果把这27种称量结果看成编码，把24种情况看成需要分辨的不同信息，那么显然，编码数量是足够的。也就是，是有可能的。这种方法可以用来排除结果，却不可以用来肯定结果，也可以用于过程中，比如过程中对于整个三个称重还剩下n次称重，而需要区分的情况为m种，如果m>3ⁿ，也就是编码不够用了，那么表示刚才的称重方法是得到结果，应该被排除。

　　任何一次称重，如果两边小球数量不一样多，而如果称出小球少的一方轻于小球多的一方，则无法减少要区分的情况，所以会白白浪费一次称重。从而，每一次称重，左右都是相同的球。

　　

　　好，准备的差不多了，我们可以开始推算法了，我们给12个球先编号，从1编到12。

　　我们先看第一次称重左右各多少个球，如果左右各1~3个球，剩下的球大于多于6个，如果第一次称重为左右一样重，那么要区分的情况大于等于2*6=12种，而剩余的2次称量只能区分9种情况，所以不行；如果左右的球为5~6个，那么如果第一次称重两边不一样种，那么要区分的情况就是10或12种（要么是重的那边有一个球重了，要么是轻的那边有一个球轻了，参与称重的所有球都有可能是要找的球），也无法用剩余的2次称重区分所有的情况。所以，第一次称重只能是左右都是4个球。

　　不失一般性，第一次称重左边选择编号1、2、3、4，右边选择编号5、6、7、8。

　　

　　第一次称重会有三种可能：

　　左右一样重；

　　左边重于右边；

　　右边重于左边。

　　前两种情况是对称的，只要考虑左边重于右边就可以了，从而只需要考虑左右一样重、左边重于右边这两种情况即可。

　　

　　(一)

　　先考虑左右一样重，那么要找的球在9、10、11、12中，也就是还存在8种情况。考虑第二次称量。

　　如果9、10、11、12都在这一次称量上，那么天平不会平衡，那么两次称量总共有2*3=6种结果(2为重、轻)，无法区分8种情况。

　　如果第二次称量中9、10、11、12中有2个或2个以上的球未参与称量，那么天平一旦平衡，这些未参与称量的球将有至少4种情况需要通过最后一次称量来决定，那么也是不可能的。

　　所以，第二次称量中，9、10、11、12有3个球参与称量，不失一般性，就选9、10、11三个球，9、10、11三个球和1、2、3三个不是目标的球做第二次称重（其实还有一种称法，就是9、10和11、1称，也一样可以分辨出来，这里不讨论）。分三种情况：

　　(1) 9、10、11重于1、2、3，那么只有三种可能：9重，10重，11重。第三次称量就拿9和10来比较，如果9重于10，结果就是9重；如果10重于9，结果就是10重；如果9、10一样种，结果就是11重。

　　(2) 9、10、11轻于1、2、3，和上面道理一样。

　　(3) 9、10、11和1、2、3一样重，那么要找的球就是12。最后一次称量就用12比上任何一个正常的球就知道12是重了还是轻了。

 

　　(二)

　　再考虑1、2、3、4重于5、6、7、8，那么结果会有8种可能：1重，2重，3重，4重，5轻，6轻，7轻，8轻。8个球都有可能，那么最后一次称重至少要有5个球参与，以防第二次称平之后有超过3种情况，从而最后一次称不出来。我们选择1、2、5和3、6、9称第二次。如果1、2、5重于3、6、9，那么有1重，2重，6轻三种情况；如果1、2、5轻于3、6、9，那么有5轻，3重两种情况；如果1、2、5和3、6、9一样重，那么有4重，7轻，8轻三种情况。

　　两重一轻、两轻一重（其实就是前一种反过来，所以只用考虑前一种）很容易一次称出，把两个认为可能重的比较一下重量，如果不平衡，那么重的那个就是要找的球；如果平衡，就是剩下的那一个球。一轻一重就更容易了，拿一个正常的球和其中一个球来比就行了。

 

　　从而，问题就这么解决了。其实题目可以再变一下，12个球变成13个球，不过三次称重只可以保证找出不一样的那个球，却未必知道这个球是重还是轻。我们可以分析一下，首先，每次左右球数目都一样，道理同上。第一次选择的球只能是左右都4个，如果是左右大于等于5个，万一不平衡，就有最少10种情况(参与称重的球都有可能)，那么2次称重是分辨不出来10种情况，而如果是左右3个以内，于是面临2次称重分辨至少7个不知轻重的球，7>3+3，2次搞不定。第一次称重如果不平衡，那么和上面12个第一称不平衡一样，可以解决。如果平衡，那么就面临着2次称重在5个球中找。如果第二称重有这5个球中4个或4个以上的球参与，那么万一不平衡，那么需要一次称重分辨至少4种情况，不可能解决。如果第二称最多只有2个球参与，那么万一平衡，那么剩余的球（至少3个）需要一次称重称出，这是不可能的。所以第二称有其中3个球参与，左边2个，右边剩下的1个和从刚才8个球中找一个正常的。但万一平衡，意味着还有一次称重要分辨2个球，这种情况下，是存在只知道球不知道轻重的可能，因为2*2>3。