关于最短路

Posted 2020-12-29 gtba

关于最短路，大家应该都知道有Dijkstra，SPFA以及Floyd。

此处先提出一个问题：

给定图G，每条边有边权。
求从一点到另一点的边权和最小的路径。
要求图中不能有负回路（否则为NP问题）。

首先提到的便是Floyd。

如果数据范围足够小，相信大家大部分会选择Floyd（为什么呢，后文解释）。

大家都知道Floyd板子好背，不像其它两种算法一样颇为复杂。

但别看它貌似简单，但其实蕴含着大道理，这也是我去清北学堂的时候听hzc老师讲的。

Floyd的储存方法就是用邻接矩阵储存，比较方便。

它的原理是DP，时间复杂度为O（n³），空间复杂度为O（n²）。

所以Floyd是不可以用来做数据范围较大的题的。

令f[i][j][k]为从i到j，中途只经过编号1~k的节点的最短路。

考虑是否经过k：

　　如果经过，那么f[i][j][k]=f[i][k][k-1]+f[k][j][k-1]；

　　否则，f[i][j][k]=f[i][j][k-1]；

直接这样做的空间复杂度是O（n³），我们可以进一步优化。

首先，f[..][..][k]只从f[..][..][k]转移，可以用滚动数组优化。

进一步地，如果经过k，那么只会从fp..[[k][k-1]转移，而f[k][..][k]和f[..][k][k]必然不会这样转移，故可以直接在原数组上迭代。

代码实现：

f[i][j]的初始值需设为极大值，如果i与j之间有边那么f[i][j]为最小的边权。

拓展应用：

求图中的最小环。先考虑无向图。

Floyd算法保证了最外层循环到|的时候所有点对之间的最短路只经过1 ∼k− 1号节点。

环至少有3个节点，设编号最大的为x，与之直接相连的两个节点为u和v。

环的长度应为f[u][v][x-1]+w[v][x]+w[x][u]。其中w为边权，如不存在边则为无穷大。

我们只要进行第x次迭代之前枚举所有编号小于k的点对更新答案即可。

代码实现：

j只循环到i-1，因为无向图i到j与j到i是等价的。

有向图则类似，另外注意两个点的环的情况。

接下来我们来看SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）

即队列优化的Bellman-Ford算法，同样用于求单源最短路，可以用于带负权的图。

SPFA算法：

算法流程大致如下：

1.记S为起点，置d_s=0；对于其它点x，置d_x=∞；

2.维护一个队列，初始为空；加入S；

3.取出队首节点，记为u；

4.枚举所有与u相邻的节点v，用d_u+w(u,v)更新d_v；如果d_v被更新且v不在队列中，则将其加入队列；

5.如果队列不为空，返回3；否则算法结束。

代码实现

算法复杂度最坏情况下是O（nm）。

但一般来说，除非是故意卡SPFA，否则在效率上是和Dijkstra差不多的。

关于SPFA的优化：

1.SLF（smallest label first）：如果加入的元素距离小于队首元素，则置于队首；

2.LLL（largest label last）：记录队列中的元素距离平均值，从队首取元素时，如果距离大于平均值则移至队尾，重复直到找到小于等于平均值的元素为止；

3.随机化：从队首取元素时，有p的概率直接将其移至队尾；p应当是于图规模有关的一个小概率。

其实这些优化不能优化复杂度，甚至可能使算法变慢，但能在一定程度上化解针对性数据。

既然上文提到了Dijkstra，那么我们接下来自然要讲它。

首先我们来想一下宽度优先搜索

如果所有边权均为1，宽度优先搜索可以求出最短路。

如果不为1？则拆点。

用于求从图中一点出发到其它所有点的最短路。即SSSP（single source
shortest path，单源最短路）。
时间复杂度O(n² )，空间复杂度O(m)（不含图结构）。
要求所有权值非负。称这样的图为正权图。
在下面的分析中，视1号点为源点，记d_u为1号点到点u的最短路距离。

我们首先来看一些正权图的性质：
1. 如果1到u的最短路上包含v，那么这条路径上1到v的部分为1到v的最短路。
2. 任意一条最短路的一部分的长度一定不大于整条路径的长度。

Dijkstra算法
算法流程大致如下：
1. 记S为起点，置d_s = 0；对于其它点x，置d_x = ∞；

2. 找到当前尚未处理过的点中距离最小的，记为u；
3. 枚举所有与u相邻的节点v，用d_u + w(u,v)更新d_v ；
4. 标记u为已处理；
5. 如果还有尚未处理过的点，返回2；否则算法结束。

 代码实现:

关于优化：

首先改变储存图的方式；

再者，我们考虑优化循环，外层循环无法优化，则内层为先找最小值，更新答案。

我们使用堆优化。

堆是一个支持插入元素、查询或删除最小值的数据结构。
插入、删除复杂度为O（log n） ；
查询复杂度为O（1） ；
还可以支持把一个元素改小，复杂度为O（log n）。
不需要明白具体实现，当成一个黑箱就好。

为了优化查询最小值部分，我们需要存储所有尚未处理过的点。
在更新时候，如果距离变小，则在堆中更新。
而在更新时，也只在前向星中遍历从当前点发出的边。
复杂度O(nlog n)。

另一种写法是直接往堆里加，而不是改值，适用于STL中的优先队列。

就不再具体实现了。

一世安宁