P4231 三步必杀

Posted 2020-12-26 hkttg

P4231 三步必杀

题目背景

（三）旧都

离开狭窄的洞穴，眼前豁然开朗。

天空飘着不寻常的雪花。

一反之前的幽闭，现在面对的，是繁华的街市，可以听见酒碗碰撞的声音。

这是由被人们厌恶的鬼族和其他妖怪们组成的小社会，一片其乐融融的景象。

诶，不远处突然出现了一些密密麻麻的小点，好像大颗粒扬尘一样。

离得近了点，终于看清楚了。

长着角的鬼们聚在一起，围观着另一只鬼的表演。

那”扬尘”，其实都是弹幕。

勇仪的招数之一，三步之内，所到之处弹幕云集，几乎没有生存可能。

为了强化这一技能，勇仪将对着一排柱子进行攻击。

旧地狱的柱子虽然无比坚固，但保险起见还是先要了解一下这样一套攻击对柱子有多少损伤，顺带也能检验练习的效果。

勇仪决定和其它鬼们商量商量...

“我知道妖怪之山的河童一族有一种叫做计算机的神奇道具，说不定可以借来用用”，萃香说道。

于是旧地狱的鬼族就决定请河城荷取来帮忙了。

“要记录【所有柱子的损伤程度】吗”，荷取问道。

经过进一步的询问，荷取发现他们仅仅需要【所有攻击都完成后】柱子的损伤程度。

任务了解地差不多了，荷取将其中的重要部分提取了出来，记录在了她的工作笔记本上：

(记录的内容见题目描述)

那么实验就这样开始了。

在惊天动地的碰撞声中，勇仪每完成一轮攻击，荷取都忠实地记录下对每根柱子产生的伤害。而此时勇仪就在旁边等待着记录完成，然后再进行下一轮的攻击。

地面上，天色渐晚。

“不想在这里留到深夜啊，不然就回不了家了”，荷取这样想着，手中依然在重复地向计算机中输入新产生的信息。

“真的必须一次一次地记录下每轮攻击对每个柱子产生的伤害吗？有没有更高效的方法？”这一念头在荷取的心中闪过...

（后续剧情在题解中，接下来请看T3）

题目描述

问题摘要：

NNN 个柱子排成一排，一开始每个柱子损伤度为0。

接下来勇仪会进行 MMM 次攻击，每次攻击可以用4个参数 lll , rrr , sss , eee 来描述：

表示这次攻击作用范围为第 lll 个到第 rrr 个之间所有的柱子(包含 lll , rrr )，对第一个柱子的伤害为 sss ，对最后一个柱子的伤害为 eee 。

攻击产生的伤害值是一个等差数列。若 l=1l=1l=1 , r=5r=5r=5 , s=2s=2s=2 , e=10e=10e=10 ，则对第1~5个柱子分别产生2,4,6,8,10的伤害。

鬼族们需要的是所有攻击完成之后每个柱子的损伤度。

输入输出格式

输入格式：

第一行2个整数 NNN , MMM ，用空格隔开，下同。

接下来 MMM 行，每行4个整数 lll , rrr , sss , eee ，含义见题目描述。

数据保证对每个柱子产生的每次伤害值都是整数。

输出格式：

由于输出数据可能过大无法全部输出，为了确保你真的能维护所有柱子的损伤度，只要输出它们的异或和与最大值即可。

（异或和就是所有数字按位异或起来的值）

（异或运算符在c++里为^）

输入输出样例

输入样例#1： 

5 2
1 5 2 10
2 4 1 1

输出样例#1： 

3 10

输入样例#2： 

6 2
1 5 2 10
2 4 1 1

输出样例#2： 

3 10

说明

样例解释：

样例1：

第一次攻击产生的伤害:2 4 6 8 10

第二次攻击产生的伤害:0 1 1 1 0

所有攻击结束后每个柱子的损伤程度:2 5 7 9 10。

输出异或和与最大值，就是3 10。

样例2：

没有打到第六根柱子，答案不变

数据范围：

本题满分为100分，下面是4个子任务。(x/y)表示(得分/测试点数量)

妖精级(18/3): 1?n1leqslant n1?n , m?1000mleqslant1000m?1000 。这种工作即使像妖精一样玩玩闹闹也能完成吧？

河童级(10/1): s=es=es=e ,这可以代替我工作吗？

天狗级(20/4): 1?n?1051leqslant nleqslant10^51?n?105 , 1?m?1051leqslant mleqslant10^51?m?105 。小打小闹不再可行了呢。

鬼神级(52/2):没有特殊限制。要真正开始思考了。

以上四部分数据不相交。

对于全部的数据: 1?n?1071leqslant nleqslant10^71?n?107 , 1?m?3×1051leqslant mleqslant3 imes 10^51?m?3×105 ， 1?l<r?n1leqslant l<rleqslant n1?l<r?n .

所有输入输出数据以及柱子受损伤程度始终在 [0,9×1018][0,9 imes 10^{18}][0,9×1018] 范围内。

提示：

由于种种原因，时间限制可能会比较紧，C++选手请不要使用cin读入数据。

by orangebird

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先%一波$rqy$

这题一开始的直观思路就是线段树或是树状数组维护区间加，然而看了一眼范围，$n <= 10^7$ %……大概我那常数爆炸的线段树会炸。

emmmm……仔细想想根据题目中的已知条件等差数列很容易想到差分

但是差分一次还是会超时……怎么办？

“没有什么等差数列是差分解决不了的，如果有，那就再差分一次”

以前好像还没写过差分博客……这次开个头。

1.差分数组定义：

对于已知有n个元素的数列s，记录它每项与前一项差值的差分数组d；

$d[1]=s[1]-0=s[1]$;对于整数i∈[2,n]，有$d[i] = s[i] - s[i-1] (i∈[2,n])$

2.简单性质：

(1)计算数列各项的值：观察$s[2]=d[1]+d[2]=s[1]+s[2]-s[1]=s[2]$可知，数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的，即s[i]=d[i]的前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知

$sum_x = sumlimits_{i=1}^{x}s_x = sumlimits_{i=1}^{x} sumlimits_{j=1}^i d_j = sumlimits_{i=1}^{x} (x-i+1)*d_i$

3.用途:

(1)快速处理区间加减操作：

假如现在对数列中区间[L,R]上的数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

(2)询问区间和问题：

由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];

以上是普通的差分数组。

本题比较特殊，要用二阶差分。

网上好像很少有二阶差分的有关资料……

若a是原数组，d1为一阶差分数组，d2为二阶差分数组，在[L,R]内加上首项s，公差d，末项t=s+(R-L)*d的等差数列。

对于a

$a[x] = a[x]+s+(x-L)*d$

对于b

$b[i] = a[i]-a[i-1]$

$b[L] = (a[L]+s)-a[L-1] = b[L]+s$

$b[x] = (a[x]+(x-L)*d)-(a[x-1]+(x-1-L)*d) = b[x]+d(x∈[L+1,R])$

$b[R+1] = a[R+1]-(a[R]+t)=b[R+1]-t$

对于c

$c[i] = b[i]-b[i-1]$

$c[L] = (b[L]+s)-b[L] = c[L]+s$

$c[L+1] = (b[L+1]+d)-(b[L]+s) = c[L]+d-s$

$c[x] = (b[x]+d)-(b[x-1]+d) = c[x](x∈[L+2,R])$

$c[R+1] = (b[R+1]-t)-(b[R]+d) = c[L]-d-t$

$c[R+2] = b[R+2]-(b[R+1]-t) = c[R+2]+t$

可以看出，c[x]是不变的，其余四个需要更新

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
 
const int MAXN = 10000010;
long long N, M, l, r, s, e;
long long d[MAXN], ans, sum;

inline int read() {
    int num = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == ‘-‘) f = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { num = num * 10 + ch - ‘0‘; ch = getchar(); }
    return num * f;
}

int main() {
    N = read(); M = read();
    long long f, y = 0, x = 0;
    for (int i = 1; i <= M; ++ i) {
        l = read(); r = read(); s = read(); e = read();
        f = (e - s) / (r - l);
        d[l] += s;
        d[l + 1] += f - s;
        d[r + 1] -= f + e;
        d[r + 2] += e;
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++ i) {
        ans = max(ans, y += (x += d[i]));
        sum ^= y;
    }
    cout << sum << ‘ ‘<< ans << endl;
    return 0;
}

一定要记得开long long 啊QWQ