拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理

Posted 2020-12-18 strongdady

本文发表半小时后，我百度搜索，想看一下其他人的文章，结果发现本文，排名搜索结果第一名
截图在文章最后

英语单词: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function

有多种构造方法, 辅助函数不止一个
一，几何方法

思路:设构造出的辅助函数为F，必须有F(a)=F(b)=0，才能应用罗尔中值定理

(让f(x)在[a,b]区间内的所有点，下移直线弦AB到x轴的距离，即可保证弦AB跟x轴重回。)
(弦AB与x轴重合，即，F(a)=F(b)=0.)
(这个距离是一个跟x有关的函数，这个函数\\)
(就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b)
(由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,)
(解得，k=frac{f(b)-f(a)}{b-a})
(quadquad b=f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}a)
(弦方程为：y=frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}a)
(合并同类项：y=f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))
让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上
(即：F(x)=f(x)-f(a)-(frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}a))
(化简为：F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))
上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致

(【注意】有网友认为是曲线先下落，然后以(a,0)点为轴，旋转曲线右端点到x轴，这是错误的。\\)
(因为旋转是弧形旋转，弦AB长度不变，实际是长度缩短了，因为是投影下来的，曲线两端点的距离不变)

参考文献
余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html


天水师范学院常正军的毕业论文
https://www.docin.com/p-694641420.html
本文搜索排名第一的截图如下