中值定理--函数的中值定理

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费马引理

  • 设f(x)满足在x0点处 可导且取极值,则 f‘(x0)=0
  • 点x0取极值则x0的导数必为0

费马引理的证明

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证明区间一点导数为零,考虑罗尔定理和费马引理

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  • 导数不为0,导函数必然保号(恒正或恒负,因为零点定理

罗尔定理

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 罗尔定理推广

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 罗尔定理的使用

利用乘积求导公式的逆用,(uv)‘ = u‘v + uv‘

解题关键

  • 构造辅助函数
  • 找相等的端点

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拉格朗日中值定理

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柯西中值定理

  • 设f(x),g(x)满足,在[a, b]连续,在(a, b)内可导,存在ξ ∈(a, b),g‘(x)≠0,使得 技术图片
  • 取g(x)=x,可以推出拉格朗日中值定理 技术图片  拉格朗日是柯西的特例
  •  令f(a)=f(b),可以推出罗尔定理

泰勒公式

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常用的级数

 

 

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联系 f 与 f ‘ 考虑拉格朗日,联系 f 与 f ‘‘ 考虑泰勒公式

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达布中值定理(导函数介质定理)

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根据达布中值定理,如果导函数存在,要么连续,要么震荡

以上是关于中值定理--函数的中值定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

高数基础 中值定理 泰勒公式

回忆中值定理的二三事

拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理

高等数学 - 微分中值定理

:微分中值定理:第一节:微分中值定理

高等数学笔记