数学笔记10——拉格朗日中值定理

Posted 2020-10-08 我是8位的

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

什么是拉格朗日中值定理

　　如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，你的速度必定会达到平均速度100公里/小时。

　　上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：

　　f’(c)就是c时刻的瞬时速度。前提条件是f(x)在[a, b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且 a < c < b。这就是拉格朗日中值定理的通俗定义。

　　中值定理的几何意义如下图所示：

　　在曲线的两点间做一条割线，割线的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点。

　　需要注意的是中值定理的前提条件，下面的曲线不满足中值定理：

　　函数虽然是连续的，但在x=c点处不可导，中值定理要求函数在定义域范围内全部可导。

推论

1. 如果f’>0，则f递增
2. 如果f’<0，则f递减
3. 如果f’=0，则f是常数

　　其中1，2在数学笔记7——曲线构图中使用过，在讨论函数凹凸性时运用了这两个结论。现在用中值定理给出推论的证明。

 

　　证明推论1：

　　中值定理公式：

　　由于b>a，f’>0，所以f(b)-f(a)>0，f(b)>f(a)，故f递增。

　　推论2，3的证明与1类似。

示例

示例1：e^x > 1+x

　　证明当x > 0时，e^x >1+x

　　令f(x) = e^x – (1 + x)，f’(x) = e^x – 1

　　f’(x)单调递增，f’(0) = 0

　　∴ x > 0 时，f’(x) > 0，f(x) = e^x – (1 + x)递增

　　∵ f(0) = 0，f(x)在x > 0上递增

　　∴ e^x > 1 + x

示例2：e^x > 1+x+x²/2

　　证明当x > 0时，e^x >1+x+x²/2

　　令f(x) = e^x – (1 + x + x²/2)，f’(x) = e^x – (1 + x)

　　示例1已经证明f’(x) > 0， 所以f(x)是递增的

　　f(0) = 0， x>0时，f(x) > 1，e^x >1+x+x²/2

示例3：tanx > x

　　证明当0 < x < π/2时，tanx > x

　　设f(x) = tanx，f’(x)=sec²x根据中值定理：

　　f(b) = f(a) + f’(c)(b – a)， a < c < b

　　令 a = 0, x = b <π/2

　　f(x) = f(0) + f’(c)(x – 0) = xsec²c = tanx

　　当 0 < c <π/2时，sec²c = 1/cos²c > 1

　　∴ tanx > x

 

　　也可以令f(x) = tanx – x, f’(x) = sec²x – 1 > 0 => f(x)在定义域内递增，tanx > x

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