高等数学 - 微分中值定理

Posted 2020-12-21 amazing-1

高等数学 - 微分中值定理

并不是那么容易记住

目录

• 高等数学 - 微分中值定理
  • 费马引理
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理

费马引理

设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某领域 (U(x_0)) 内有定义，并且在 (x_0) 处可导，如果对任意的 (xin U(x_0)) ，有 (f(x)le f(x_0)) 或 (f(x)ge f(x_0)) ，则 (f‘(x_0)=0) 。

证明：由可导，故 (f‘_{-}(x_0)=f‘_{+}(x_0)) ，(f‘_{-}(x_0)=limlimits_{Delta x o 0}frac{f(x_0)-f(x_0-Delta x)}{Delta x}ge 0) ，(f‘_{+}(x_0)=limlimits_{Delta x o 0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}le 0) 。因此有 (f‘(x_0)=0) 。

罗尔定理

如果函数 (f(x)) 满足
(1) 在闭区间 ([a,b]) 上连续；
(2) 在开区间 ((a,b)) 内可导；
(3) (f(a)=f(b)) ；
则在 ((a,b)) 内至少存在一点 (xi) 满足 (f‘(xi)=0) 。

证明：由于在 ([a,b]) 上连续，因此必然有最大值和最小值，记为 (M)，(m) 。若 (M=m) ，则 (f(x)=M) 为常值，即有 (f‘(x)=0) 。若 (M e m) ，而 (f(a)=f(b)) ，因此必然存在一个最值点不在端点，而同时 (f(x)) 在 ((a,b)) 内可导，因此由费马引理可知在非端点的最值处有 (f(xi)=0) 。

拉格朗日中值定理

如果函数 (f(x)) 满足
(1) 在闭区间 ([a,b]) 上连续；
(2) 在开区间 ((a,b)) 内可导；
那么在 ((a,b)) 内至少有一点 (xi) 满足 (f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a)) 。

证明：观察 (f(x)) ，可知两个端点的连线和 (f(x)) 的距离的函数满足罗尔定理。构造 (L_{AB}(x)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)) ，则 (AB) 连线与 (f(x)) 的差的函数为 (varphi(x)=L_{AB}(x)-f(x)) 。由罗尔定理，有 (varphi‘(xi)=0) ，即 (frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f‘(xi)=0) ，即得证。

柯西中值定理

如果函数 (f(x)) 和 (varphi(x)) 满足
(1) 在闭区间 ([a,b]) 上连续；
(2) 在开区间 ((a,b)) 内可导；
(3) 对任一 (xin (a,b)) ，有 (varphi(x) e 0) 。
那么在 ((a,b)) 内至少有一点 (xi) ，满足 (frac{f(b)-f(a)}{varphi(b)-varphi(a)}=frac{f‘(xi)}{varphi‘(xi)}) 。

证明：取辅助函数 (sigma(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{varphi(b)-varphi(a)}varphi(x)) ，即证 (sigma‘(xi)=0) ，考虑 (sigma(a)=sigma(b)=frac{f(a)varphi(b)-f(b)varphi(a)}{varphi(b)-varphi(a)}) ，符合罗尔定理条件，因此得证。