高等数学基础进阶微分中值定理及导数应用

Posted 2022-10-19

一、微分中值定理

定理1（费马引理）：如果函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，那么$f(x_0)=0$

 

定理2（罗尔定理）：

若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x)$在$(a,b)$可导

• $f(a)=f(b)$

 

则存在$\\xi\\in(a,b)$，使$f(\\xi)=0$

 

定理3（拉格朗日中值定理）：

若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x)$在$(a,b)$可导

 

则存在$\\xi\\in(a,b)$，使

$$

\\fracf(b)-f(a)b-a=f(\\xi)

$$

 

定理4（柯西中值定理）：

若

• $f(x),F(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x),F(x)$在$(a,b)$可导，且$F(x)\\ne0$

 

则存在$\\xi\\in(a,b)$，使

$$

\\fracf(b)-f(a)F(b)-F(a)=\\fracf(\\xi)F(\\xi)

$$

 

微分中值定理本质上是为了建立导数与函数的联系，因此题目中如果都是函数的条件，问导数，或者反过来，考虑使用微分中值定理

 

定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）

设$f(x)$在$x_0$点$n$阶可导，那么

$$

f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+\\cdots+\\fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+R_n(x)

$$

其中

$$

R_n(x)=o(x-x_0)^n,(x\\to x_0)

$$

若$x_0=0$，则得麦克劳林公式

$$

f(x)=f(0)-f(0)x+\\fracf(0)2!x^2+\\cdots+\\fracf^(n)(0)n!x^n+R_n(x)

$$

 

定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）：

设$f(x)$在喊$x_0$的区间$(a,b)$内$n+1$阶可导，那么对$\\forall x\\in(a,b)$，至少存在一个$\\xi$，使

$$

f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+\\cdots+\\fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+R_n(x)

$$

其中

$$

R_n(x)=\\fracf^(n+1)(\\xi)(n+1)!(x-x_0)^n+1,\\xi在x_0和x之间

$$

 

泰勒公式本质上建立了函数与高阶导数的关系，并且利用多项式逼近$f(x)$

 

皮亚诺型用于研究函数的局部形态，例如极限、极值；拉格朗日型用于研究函数的整体形态，例如最值、不等式

 

$$

\\beginaligned

e^x&=1+x+\\frac x^22!+\\cdots+\\frac x^nn!+o(x^n)\\

\\ln(1+x)&=x-\\frac12x^2+\\frac13x^3-\\cdots+(-1)^(n-1)\\frac1nx^n+o(x^n)\\

(1+x)^\\alpha&=1+\\alpha x+\\frac\\alpha(\\alpha-1)2!x^2+\\cdots+\\frac\\alpha(\\alpha-1)\\cdots(\\alpha-n+1)n!x^n+o(x^n)\\

\\sin x&=x-\\fracx^33!+\\fracx^55!-\\cdots+(-1)^n-1\\fracx^2n-1(2n-1)!+o(x^2n-1)\\

\\cos x&=1-\\frac12!x^2+\\frac14!x^4-\\cdots+(-1)^n\\fracx^2n(2n)!+o(x^2n)

\\endaligned

$$

 

二、导数应用

单调性

定理7（函数的单调性）：

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

• 若在$(a,b)$内$f(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增

• 若在$(a,b)$内$f(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减

 

极值

定义（函数的极值）：

若$\\exists \\delta>0$，使得

• $\\forall x\\in U(x_0,\\delta)$恒有$f(x)\\geq f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$取得极小值

• $\\forall x\\in U(x_0,\\delta)$恒有$f(x)\\leq f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$取得极大值

 

在端点处不能取得极值，极值的定义是邻域

 

定理8（极值的必要条件）：

若$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f(x_0)=0$

 

导数值等于零的点被称为驻点

 

极值不一定是驻点，例如，对于$|x|$，当$x=0$时，是极值点但不是驻点

驻点不一定是极值点，例如，对于$x^3$，当$x=0$时，是驻点但不是极值点

因此，极值点只可能在$f(x_0)=0$或$f(x_0)$不存在的点

 

定理9（极值的第一充分条件）：

设$f(x)$在$\\mathringU(x_0,\\delta)$内可导，且$f(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）

• 若$x<x_0$时，$f(x)\\geq0$；$x>x_0$时，$f(x)\\leq0$，则$f$在$x_0$处取极大值

• 若$x<x_0$时，$f(x)\\leq0$；$x>x_0$时，$f(x)\\geq0$，则$f$在$x_0$处取极小值

• 若$f(x)$在$x_0$的两侧不变号，则$f$在$x_0$无极值

 

该定理可以用于$f(x_0)=0$，还可以是在$x_0$处导数不存在，但是函数连续，例如$|x|$当$x=0$时，依旧可以使用

 

定理10（极值的第二充分条件）：

设$f(x_0)=0,f(x_0)\\ne0$

• 当$f(x_0)<0$，$f(x)$在$x_0$处取极大值

• 当$f(x_0)>0$，$f(x)$在$x_0$处取极小值

 

最值

求连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的最值

1. 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_1,x_2,\\cdots,x_n$

2. 求出函数值$f(x_1),f(x_2),\\cdots,f(x_n),f(a),f(b)$

3. 比较以上各点函数值

 

注：若连续函数$f(x)$在$(a,b)$内仅有唯一极值点，则不需要作比较

 

对于最大最小值的应用题，在上述步骤之前建立目标函数即可

 

凹凸性

定义3：

凹

$$

f( \\fracx_1+x_22)<\\fracf(x_1)-f(x_2)2

$$

凸

$$

f( \\fracx_1+x_22)>\\fracf(x_1)-f(x_2)2

$$

 

定理11：

若区间$I$上$f(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凹的

若区间$I$上$f(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凸的

 

定义4（拐点）：

曲线上凹凸性发生变化的点

 

极值点只有$x$值，拐点是个坐标

 

拐点判定（必要条件与充分条件），只需要将极值点的定理关于导数抬高一阶即可

 

定理12（拐点的必要条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f(x_0)=0$

 

定理13（拐点的第一充分条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心领域内二阶可导，且$f(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）

• 若$f(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

• $f(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，不是拐点

 

定理14（拐点的第二充分条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f(x_0)=0$，若$f(x_0)\\ne0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

 

渐近线

若

$$

\\lim_x\\to \\inftyf(x)=A(\\lim_x\\to -\\inftyf(x)=A或\\lim_x\\to +\\inftyf(x)=A)

$$

那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线

 

水平渐近线判断有无，先看有没有无穷函数

 

若

$$

\\lim_x\\to x_0f(x)=\\infty

$$

那么$x=x_0$是$y=f(x)$的垂直渐近线

 

若

$$

\\lim_x\\to \\infty\\fracf(x)x=a,b=\\lim_x\\to \\infty(f(x)-ax)

$$

那么$y=ax+b$是$y=f(x)$的斜渐近线

 

对于$-\\infty$和$+\\infty$，如果某一侧已经存在水平渐近线或斜渐近线，则该侧不会出现另一种渐近线

 

函数作图

1. 定义域

2. 一阶导数确定单调区间，确定极值

3. 二阶导数确定凹凸区间，确定拐点

4. 渐近线

 

曲线的弧微分与曲率

直角坐标系下的曲率公式

$$

K=\\frac|y|(1+y^2)^\\frac12

$$

 

曲率半径

$$

R=\\frac1K

$$

 

常考题型与典型例题

求函数的极值和最值及确定曲线的凹项和拐点

例1：设函数$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内连续，判断$x=0$处是否是极值

 

 

由于$f(x)$在$x=0$处无定义，因此$x=0$处可能是极值点

又因为**$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内连续**，有$x-0>0,x+0<0$，即两端导数值变号，因此是极大值点

 

例2：已知$f(x)$在$x=0$的某个邻域连续，且$f(0)=0,\\lim\\limits_x\\to0\\fracf(x)1-\\cos x=2$，判断在点$x=0$处$f(x)$是否可导，是否是极值

 

由题意知

$$

2=\\lim_x\\to0\\fracf(x)\\frac12x^2=2\\lim_x\\to0(\\fracf(x)x\\cdot \\frac1x)

$$

显然$\\lim\\limits_x\\to0\\frac1x\\to \\infty,\\lim\\limits_x\\to0(\\fracf(x)x\\cdot \\frac1x)\\to1$，则$\\lim\\limits_x\\to0\\fracf(x)x\\to0$

根据$f(0)=0$，又有

$$

f(0)=\\lim_x\\to0\\fracf(x)x\\to0

$$

因此$x=0$处$f(x)$可导，导数为$0$

$$

\\lim_x\\to0\\fracf(x)1-\\cos x=2>0

$$

根据极限的保号性，在$0$的一个小去心邻域内

$$

\\fracf(x)1-\\cos x>0\\Rightarrow f(x)>0=f(0)

$$

因此$x=0$处为极小值

 

例3：设$f(x)=|x(1-x)|$，判断$x=0$处是否是$f(x)$的极值点、拐点

 

$$

f(x)=\\begincases

-x(1-x)&,x<0 \\

x(1-x)&,x\\geq0

\\endcases

$$

（注意此处只需要写$x=0$附近的分段函数，其他不关注）

显然$f(x)$在$x=0$处连续

$$

f(x)=\\begincases

-1+2x&,x<0 \\

1-2x&,x>0

\\endcases

$$

（注意此处不需要关注$x=0$处的$f(x)$值，如果保证函数在极值点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f(x)$的正负）

显然是极小值

$$

f(x)=\\begincases

2&,x<0 \\

-2&,x>0

\\endcases

$$

（注意此处不需要关注$x=0$处的$f(x)$值，如果保证函数在拐点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f(x)$的正负）

显然$(0,0)$是$f(x)$的拐点

 

渐近线

例4：求$y=x+\\sin \\frac1x$的渐近线

 

水平渐近线

当$x\\to \\infty$时，函数为$\\infty+有界量$，显然无水平渐近线

 

垂直渐近线

当$x=0$时，函数无定义，此时$y$不趋向于无穷，显然五垂直渐近线

 

斜渐近线

$$

\\lim_x\\to \\infty \\fracyx=1=a,\\lim_x\\to \\infty(y-ax)=\\lim_x\\to \\infty\\sin \\frac1x=0=b

$$

因此存在斜渐近线$y=x$

 

推广：

设一个函数$f(x)$存在斜渐近线$y=ax+b$

对于$f(x)$上的任意一点$(x,f(x))$到斜渐近线$y=ax+b$的距离

$$

\\lim_x\\to \\inftyd=\\frac|f(x)-ax-b|\\sqrt1+a^2=0

$$

有

$$

\\lim_x\\to \\inftyf(x)-ax-b=0

$$

即，当$x\\to \\infty$

$$

f(x)=ax+b+\\alpha(x),其中\\alpha(x)\\to0

$$

所以如果一个函数当$x\\to \\infty$，能被写成一个$线性函数+无穷小$的形式就有斜渐近线

 

对于本题$y=x+\\sin \\frac1x$，当$x\\to \\infty$，显然可以被写成$y=x+0$，因此存在斜渐近线$y=x$

 

例5：分析$y=\\frac1x+\\ln(1+e^x)$渐近线的条数

 

水平渐近线

$$

\\lim_x\\to -\\inftyy=0\\quad 注意e^\\infty\\ne \\infty

$$

因此有水平渐近线$y=0$

垂直渐近线

$$

\\lim_x\\to0y=\\infty

$$

因此有垂直渐近线$x=0$

斜渐近线，由于$-\\infty$侧已经有水平渐近线，因此不需要考虑该侧

$$

\\beginaligned

\\lim_x\\to+\\infty \\fracyx&=\\lim_x\\to+\\infty\\frac\\ln(1+e^x)x=\\lim_x\\to+\\infty \\frac\\frace^x1+e^x1=1=a\\

\\lim_x\\to+\\infty(y-ax)&=\\lim_x\\to+\\infty(\\ln(1+e^x)-x)\\

&此处可以选择把x变成\\ln e^x,也可以从前一项拆出x\\

&=\\lim_x\\to+\\infty\\ln \\frac1+e^xe^x=0=b

\\endaligned

$$

因此有斜渐近线$y=x$

 

斜渐近线也可以用上面的推广方法

当$x\\to+\\infty$

$$

y=\\ln [e^x(e^-x+1)]+ \\frac1x=\\underbracex线性函数+\\underbrace\\ln(e^-x+1)+ \\frac1x无穷小

$$

因此有斜渐近线$y=x$

 

方程的根

问零点的存在性考虑零点定理和原函数的罗尔定理

 

零点定理（使用条件是函数连续，端点值变号）

例6：求证方程$x+p+q\\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$

 

令$f(x)=x+p+q\\cos x$

$$

\\lim_x\\to-\\inftyf(x)=-\\infty,\\lim_x\\to+\\inftyf(x)=+\\infty

$$

则存在$a<b$，使$f(a)<0,f(b)>0$

因此存在$\\xi\\in(a,b)$，使得$f(\\xi)=0$，即$f(x)$有实根

又因为

$$

f(x)=1-q\\sin x>0

$$

因此方程$x+p+q\\cos x=0$恰有一个实根

 

罗尔定理

例7：设$a_1+a_2+\\cdots+a_n=0$，求证方程

$$

na_nx^n-1+(n-a)a_n-1x^n-2+\\cdots+2a_2x+a_1=0

$$

 

令

$$

\\beginaligned

F(x)&=\\int na_nx^n-1+(n-a)a_n-1x^n-2+\\cdots+2a_2x+a_1\\

&=a_nx^n+a_n-1x^n-1+\\cdots+a_2x^2+a_1x

\\endaligned

$$

显然$F(x)$在$[0,1]$连续，$(0,1)$可导

$$

F(0)=0,F(1)=a_n+a_n-1+\\cdots+a_2+a_1=0

$$

因此存在$\\xi\\in(0,1)$，使得$f(\\xi)=0$

 

不等式证明

$$

常用方法\\begincases

单调性:f(x)\\geq g(x)即证f(x)-g(x)\\geq0 \\

拉格朗日中值定理常用于两个函数相减 \\

最大最小值

\\endcases

$$

 

例8：证明：$\\fracx1+x<\\ln(1+x)<x,(x>0)$

 

$$

\\ln(1+x)=\\ln(1+x)-\\ln1=\\frac1\\xix,\\xi\\in(1,1+x)

$$

有

$$

\\fracx1+x<\\ln(1+x)= \\fracx\\xi<x

$$

 

高等数学两个常用不等式：

$$\\fracx1+x<\\ln(1+x)<x,(x>0)$$

$$\\sin x<x<\\tan x,x\\in(0,\\frac\\pi2)$$

 

中值定理证明题

例9：设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上二阶可导，且$f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)$，证明存在$\\xi\\in(a,b)$，使$f(\\xi)=0$

 

存在$\\xi_1\\in(a,c)$，使$f(\\xi_1)=0$

存在$\\xi_2\\in(c,b)$，使$f(\\xi_2)=0$

存在$\\xi_\\in(\\xi_1,\\xi_2)$，使$f(\\xi_)=0$

 

例10：设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明在$(a,b)$内至少存在一点$\\xi$，使得$f(\\xi)>0$

 

根据题意，存在$c\\in(a,b)$，使$f(c)\\ne f(a)$，不妨设$f(c)>f(a)$

存在$\\xi\\in(a,c)$使

$$

f(\\xi)=\\fracf(c)-f(a)c-a>0

$$

 

例11：设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$且存在$c\\in(a,b)$使$f(c)<0$。试证：$\\exists \\xi \\eta\\in(a,b),f(\\xi)<0,f(\\eta)>0$

 

$\\exists \\xi\\in (a,c)$，使得

$$

\\fracf(c)-f(a)c-a=f(\\xi)<0

$$

$\\exists\\xi\\in(c,b)$，使得

$$

\\fracf(b)-f(c)b-c=f(\\xi_1)>0

$$

$\\exists \\eta\\in(\\xi,\\xi_1)$，使得

$$

\\fracf(\\xi_1)-f(\\xi)\\xi_1-\\xi=f(\\eta)>0

$$

 

 

例12：设函数$f(x)$在$[0,+\\infty)$上可导，且$f(0)=0$，且$\\lim\\limits_x\\to+\\inftyf(x)=2$，证明：

• 存在$a>0$，使得$f(a)=1$

• 存在$\\xi\\in(0,a)$，使得$f(\\xi)=\\frac1a$

 

介值定理要求在闭区间连续，开区间内的某个值为介值

 

由于$f(x)$可导，则必然连续

又因为$f(0)=0,\\lim\\limits_x\\to+\\inftyf(x)=2$，则存在$b>0$，使得$f(b)>1$

因此存在$a\\in(0,b)$，使得$f(a)=1$

 

第二问可以用拉格朗日中值定理，这里用罗尔定理构造函数的方法

 

令

$$

F(x)=\\int f(x)- \\frac1a=f(x)- \\frac1ax

$$

显然$F(x)$在$[0,a]$连续，$(0,a)$可导

$$

F(0)=0,F(a)=f(a)-1=0

$$

因此存在$\\xi\\in(0,a)$，使得$f(\\xi)=\\frac1a$