[数学] 错排问题

Posted 2020-12-16 foggy-forest

错排问题

直接上题解释吧

Luogu P1595 信封问题

题目描述

某人写了 (n) 封信和 (n) 个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入格式

一个信封数 (n)（(n le 20)）

输出格式

一个整数，代表有多少种情况。

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首先, 我们明确一下 (D left( n ight)) 的定义: (n) 个数都不能放在原先的位置的方案数.

对于这个题, 我们假定已经知道了 (D left( 0 ight)) ~(D left( n-1 ight))的值.

当我们放入第 (n) 个数时, (n) 一定有 (n-1) 种放法.

考虑其中一种: 当 (n) 被放置在第 (k) 个位置时:
1. (k) 被放在了第 (n) 个位置, 这两个数对剩下位置的错排无任何影响, 有 (D left( n-2 ight)) 种方案;
2. (k) 被放在了其他位置, 这时我们需要排除 (k) 被放在 (n) 位置上的情况( 即第一种情况 ), 所以我们可以直接把 (n) 位置看作是 (k) 的原位置, 则有 (D left( n-1 ight)) 种方案.

于是我们得到了如下的递推公式:

[D left( n ight) = left( n-1 ight) imes left[D left( n-1 ight)+D left( n-2 ight) ight] ]

特别的, (Dleft(0 ight) = 0), (Dleft(1 ight)=0), (Dleft(2 ight)=1).

根据这个递推公式, 我们可以求出数列通项公式^[1]:

[Dleft(n ight) = n!left(1-frac{1}{1!}+frac{1}{2!}- ... pm frac{1}{n!} ight) ]

这就是错排问题的基本公式.

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1. 注: 运用容斥原理同样可以导出相同的结果. ??