错排问题

Posted 2020-06-14

问题：
 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

 

   其实这道题看完后想到了排列~但是仔细一算超级麻烦，后来查了知道有一个公式！

   当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

   

   第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

   

   第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：

            ⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；

            ⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

    D(n) = （n-1）*（D(n-1)*D(n-2)）

    特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

    知道了了公式就很容易了，但丝毫没有成就感。