错排公式

Posted 2021-01-07 friend-a

错排问题

　　错排问题是组合数学中的问题之一。一个含有n个元素的排列，若这个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的一个排列就是原排列的一个错排。

求解方法

　　对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

　　当n=1时，只有一种排列情况且不是错排，D₁=0；

　　当n=2时，全排列有两种，1、2和2、1，后者是错排，D₂=1；

　　当n=3时，全排列有3！=6种，错排有两种，D₃=2；

　　D₄=9、D₅=44、D₆=265……

　　对于排列数比较多时，枚举的方法就不合适了，可以用递推思想推导。

　　当n>=3时，我们假设数字n在第k个位置上，这时k必须满足1≤k≤n-1。此时有两种情况：

　　　　1.数字k在第n个位置上时，n和k唯一确定了，且满足错排条件。剩下n-2个数字，即D_n-2；

　　　　2.数字k不在第n个位置上，此时有n-1个数字的错排情况，即D_n-1；

　　所以对于每一种确定的k值，有D_n=D_n-1+D_n-2，又由于k有n-1个符合的值，所以最终结论是

　　D_n=(n-1)*(D_n-1+D_n-2)