LGV定理

Posted 2020-12-15 jiazp

LGV定理用于解决路径不相交问题。

定理

有 (n) 个起点 (1, 2, 3, ..., n)，它们 分别对应 要到 (n) 个终点 (A, B, C, ..., X)，并且要求路径点不相交。求方案数。

设 (e_{i, W}) 表示从起点 (i) 到终点 (W) 的方案数。则最终答案为：

[egin{vmatrix} e_{1, A} & e_{1,B} & ... & e_{1, X} e_{2, A} & e_{2, B} & ... & e_{2, X} ... & ... & ... & ... e_{n, A} & e_{n, B} & ... & e_{n, X}end{vmatrix}]

（这俩竖线是行列式的意思）

其中 (n = 2) 的情况挺好理解的，因为它表示出来是:

[egin{vmatrix} e_{1, A} & e_{1, B} e_{2, A} & e_{2, B}end{vmatrix}]

即：

[e_{1, A} * e_{2, B} - e_{1, B} * e_{2, A} ]

前面部分是不考虑“不相交”的合法方案数。但是可能会有相交的情况。我们发现如果在第一个相交点的地方偷偷的交换一下路径的来源，那么每一种不合法路径唯一对应一种 1 到 (B)，2 到 (A) 的路径；同时每一种 1 到 (B)，2 到 (A) 的路径唯一对应一种不合法路径。因此可以用 (e_{1, B} * e_{2, A}) 来计算不合法路径。然后容斥即可。

这种方法类似求卡特兰数通项公式的方法。

实际上 (n > 2) 的情况也可以用容斥思想感性理解。

例题：CF348D Turtles

(n = 2) 时的板子题。直接DP求解出 (e)，然后手算行列式即可。