初等数论初步——最大公因数

Posted 2020-12-04 lfri

一、定义

定义：给定两个整数a，b,必有公共的因数，叫做它们的公因数，当a,b不全部为0时，在有限个公因数中最大的那个叫做a、b的最大公因数，记作(a,b)

二、一种方法——辗转相除法

描述：设a,b为任意两个整数，且b不为0，应用带余除法，以b除a,得到商q1,余数r1；如果余数r1不为0，以r1除b，得到商q2，余数r2;如果r2不等于0，以r2除r1,如此继续下去，在有限个除法后，必然得到rn不为0且整除rn-1。

 

 

 

 

 

 

 

 

三、最大公约数的性质

关于最大公约数有一条重要的性质，这条性质在求解一次同余方程和不定方程时经常遇到。

1)

证明：不妨设b>0,用b除a,则有a = b*q1 + r1,

若r1 = 0,(a,b) = (b,r1) = b;所以(a,b) = a * 0 + b * 1

若r1 != 0,用r1除b;b = r1 * q2 + r2,

　　若r2 = 0,(a,b) = (b,r1) = (r1,r2) = r1 = a - b * q1;所以(a,b) = a * 0 + b * (-q1)

　　若r2 != 0,用r2 除r1;r1 = r2 * q3 + r3.

　　　　若r3 = 0,(a,b) = (r2,r3) = r2 = b - r1 * q2 = b - (a - b * q1) * q2;所以(a,b) = a * (-q2) + b * (1 + q1 * q2)

　　　　若r2 != 0,用r3 除r2........

由于最大公因数一定存在，所以一定可以经过有限次 得到rn = 0,所以这样的m,n一定存在且可以求出来。

2）由上面那条性质，可以推出整数的一条性质

证明：因为（a,b） = 1，所以存在整数m,n,使得am + bn = (a,b) = 1,

　　于是(ac)m + (bc)m = c

　　因为a | ac,a | bc，所以a | (ac)m + (bc)m,即a | c