[数学] aw3815. 最大约数(模拟+分解质因数+CF588B)

Posted 2021-09-10 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：3815. 最大约数

模板：[数论+模板] 分解质因数(模板)

2. 题目解析

数学题。

将 $n$ 分解质因数，$n=p_1^{b_1}{p}_2^{b_2}...p_k^{b_k}$，那么 $n$ 的约数就是 $p_1、p_2、...p_k$ 组成。且要求约数是完美数，约数自身不存在平方项的约数，那么为了保证所求最大，即$res=p_1{p}_2...p_k$ 这些质因数的一次方乘积。

故本题就是一个分解质因数的裸题。 最后需要判断，其是否存在一个大于 $\sqrt{n}$ 的素因子。因为 $n$ 中至多只包含一个大于 $\sqrt{n}$ 的质因子，多于两个的话，相乘将大于 $n$。

故，最后需要乘以 $n$，若 $n$ 为 1 则无所谓，若 $n$ 为最后一个质因子，也就直接处理了。

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时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

空间复杂度：$O(1)$

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main() {
    int T; cin >> T; while (T -- ) {
        LL res = 1, n;
        cin >> n;
        for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ) 
            if (n % i == 0) {
                res *= i;
                while (n % i == 0) n /= i;
            }
        res *= n;
        
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}