约数之和

Posted 2020-11-27 hhyx

poj链接
# 题意
求A^B 的所有约数的和
答案 mod 9901

# 题解

唯一分解定律：一个数由质数和合数构成，合数可分解成质数和合数，最后递归下去会变成质数乘积

每一个大于1的数都可以分解成有限个质数的积，不管质因数的顺序，分解是唯一的，

将A分解质因数后表示为 P₁^c1 * P₂^c2 *.......* P_n^cn

A^B 的质因数和就是

(1 + P₁ + P₁² + .... P₁^B*c1) * (1 + P₂ + P₂² + .... P₂^B*c2) * ....(1 + P_n + P_n² + .... P_n^B*cn)

上面每个项都是等比数列，使用等比数列求和需要做除法，还要 mod 9901，模运算只对加、减、乘有分配律

所以不能直接对分子分母取模再运算，用分治法对等比数列求和：

定义sum(p,c)即公比为 p，首项为1，长度为c的和

c为奇数时候：

sum( p , c )=(1 + p + ...... + p^(c-1)/2) + (p^(c+1)/2 + ...... + pc)

　　　　　 =(1 + p + ...... + p^(c-1)/2) + p^(c+1)/2 * (1 + p + ...... + p^(c-1)/2)

　　　　    =(1 + p^(c+1)/2) * sum( p , (c-1)/2 )

c为偶数：

sum( p , c )=(1 + p + ...... + p^c/2-1) + (p^c/2 + ...... + pc)

　　　　　 =(1 + p + ...... + p^c/2-1) + p^c/2 * (1 + p + ...... + p^c/2)

　　　　    =(1 + p + ...... + p^c/2-1) + p^c/2 * (1 + p + ...... + p^c/2-1) + p^c

　　　　    =(1 + p^c/2) * sum( p , c/2-1 ) + p^c

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int mod=9901;
 4 typedef long long ll;
 5 inline ll qmi(ll a,ll b){
 6     ll ans=1%mod;
 7     while(b){
 8         if(b&1)
 9             ans=ans*a%mod;
10         a=a*a%mod;
11         b>>=1;
12     }
13     return ans;
14 }
15 ll sum(int p,int c){//求sum（p，c）首项为1，公比为p，长度为c的等比数列的和
16     if(c==0) return 1;
17 
18     if(c&1)//奇数
19         return (( 1+qmi(p,(c+1)>>1) )*sum(p,(c-1)>>1))%mod;
20     else //偶数
21         return ((1+qmi(p,c>>1) )*sum(p,c/2-1)+qmi(p,c))%mod;
22 }
23 int main(){
24     ios::sync_with_stdio(0);
25     cin.tie(0);
26     cout.tie(0);
27     int n,m;
28     cin>>n>>m;
29     if (n==0)
30     {
31         cout<<0<<endl;
32         return 0;
33     }
34     int ans=1;//如果A为素数，则约数只有自己
35     for(int i=2;i<=n;i++){
36         int s=0;//记录次数
37         while(n%i==0){//可以被整除
38             s++;
39             n/=i;
40         }
41         if(s) 
42         ans=ans*sum(i,s*m)%mod;
43     }
44 
45     cout<<ans<<endl;
46     return 0;
47 }