为什么矩阵特征值之和等于矩阵的迹

Posted 2020-12-03 joelly

本文是我在知乎的回答（https://www.zhihu.com/question/267405336/answer/435657618），为了把知识条理化，干脆将其整理成文章，发在博客上。初学乍练，如有错误欢迎指正。

在线性代数中，一个 ({displaystyle n imes n}) 的矩阵 (mathbf{A})的迹（或迹数），是指(mathbf{A})的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作 (operatorname{tr}(mathbf{A})) 或 (operatorname{Sp}(mathbf{A}))

下面用多项式根与系数的关系证明矩阵特征值之和等于矩阵的迹

[|lambda E - A|= egin{vmatrix} lambda-a_{11} & -a_{12}&dots & -a_{1n} \ -a_{21} & lambda-a_{22} & dots & -a_{2n} \ cdots&cdots&cdots&cdots \ -a_{n1} & -a_{n2} & dots & lambda-a_{nn} end{vmatrix}=0]

上式是一个以 (lambda) 为未知数的一元n次方程，称为n阶方阵A的特征方程。其左端是 (lambda) 的n次多项式，称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。

特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶矩阵A有n个特征值。

把特征方程写为： (b_{0}+sum _{{k=1}}^{{n}}b_{k}lambda^{k}=0) 其中 (b_k) 是k次项的系数，由韦达定理（根与系数的关系），则有：

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=-{frac{b_{n-1}}{b_{n}}}]

其中 (sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}) 是特征方程的解之和（方阵A的特征值之和） 可以看出本例中 (b_n=1) ，则：

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=-b_{n-1} quad quad(1)]

现在问题变成了求特征多项式n-1次项的系数 (b_{n-1}) 。

根据行列式定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和，本例中除了主对角线的乘积外，次数都小于n-1，因此n-1次项的系数 (b_{n-1}) 就是 $(lambda-a_{11})(lambda-a_{22})ldots(lambda-a_{nn}) $中 (lambda^{n-1}) 的系数，也就是 (-(a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn})) ，即：

[b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn})quad quad (2)]

把(2)代入(1)，得到：

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn}quad]

因此矩阵特征值之和等于矩阵的迹。