关于矩阵

Posted 2021-03-17 lemonzhang

打算把一些零碎的矩阵知识总结在这里，因为发现自己记的太零散，不成体系。

1：矩阵的迹trace：tr(A)，为矩阵主对角元素的和，同时也是矩阵所有特征值的和。

2：对于任意的矩阵A，A*A^{H}都是对称半正定矩阵，其特征值a_{i}都是非负实数。

     此时A的奇异值s_{i}为a_{i}的正平方根。（这里说明任意矩阵的奇异值均是非负实数，即奇异值一定大于等于0）。

     此时提醒我们，判断一个实对称矩阵是否正定或半正定时，要通过特征值判断，因为奇异值都是非负的。

3：什么时候一个矩阵的奇异值与特征值相同，正如上面所述，当一个矩阵A为对称半正定矩阵时。

4：矩阵的核范数nuclear norm：|A|_{*}，其定义为矩阵A的奇异值之和。 由于一个矩阵的非零奇异值的个数等价于该矩阵的秩，那么此时核范数可以来近似矩阵的秩（等价于向量的0范数和1范数关系，稀疏优化），这也是常见的限制矩阵低秩的方法。