矩阵的迹相关性质

Posted 2022-12-04

文章目录

• ​​迹的定义​​
• ​​迹的性质​​

• ​​线性函数​​
• ​​矩阵乘积的迹​​
• ​​迹的相似不变性​​
• ​​矩阵迹数和特征多项式​​
• ​​矩阵迹数与特征值​​

• ​​参考​​

迹的定义

在线性代数中，一个的矩阵的迹，是指的主对角线(从左上方至右下方)上各个元素的和，一般记作或

一个矩阵的迹是其特征值的总和

迹的性质

线性函数

对于任意两个的矩阵和和标量，都有：

由于一个矩阵与转置矩阵的对角线元素相同，所以任意一个矩阵和其转置矩阵的迹相等。

矩阵乘积的迹

设是一个矩阵，是矩阵，则：

其中是矩阵，是矩阵，证明如下：

上述性质可进一步推导，对于三个方阵，可以循环改变乘积中的顺序：

注意：

如果是同样大小的方阵且是对称矩阵，其乘积的迹在所有排列下都不会改变：

迹的相似不变性

如果矩阵和相似，它们的迹相等。
由和相似，存在可逆矩阵，使得 ，则有

矩阵迹数和特征多项式

一个的方形矩阵的特征多项式定义为 减 倍的单位矩阵的行列式：

特征多项式是一个关于的次多项式，它的常数项是的行列式的值，最高次项是，接下来的次项为，则多项式：

矩阵迹数与特征值

特征多项式有，它可以表示为：

其中的是特征多项式的不同的根，而是根在特征多项式的重数，称为代数重数。所有的代数重数加起来等于。

我们知道，特征多项式的根就是矩阵的特征值，以及根与多项式系数的关系可以得到：特征多项式所有的根加起来等于矩阵的迹：

如果不区分特征值或者特征值不同的话，也可以写作：

其中是矩阵的特征值，而且有：

参考

​​迹​​