均值不等式证明

Posted 2022-03-01 onlyblues

　　设$x_1,~x_2,~\\ldots,~x_n$为非负实数，其中有：

　　调和平均数$$H_n = \\fracn\\frac1x_1 + \\frac1x_2 + \\cdots + \\frac1x_n = \\fracn\\sum\\limits_i = 1^n\\frac1x_i$$

　　几何平均数$$G_n = \\sqrt[n]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_n = \\sqrt[n]\\prod\\limits_i = 1^nx_i$$

　　算数平均数$$A_n = \\fracx_1 + x_2 + \\cdots + x_nn = \\frac\\sum\\limits_i = 1^nx_in$$

　　平方平均数$$Q_n = \\sqrt\\fracx_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2n = \\sqrt\\frac\\sum\\limits_i = 1^nx_i^2n$$

　　均值不等式：$H_n \\leq G_n \\leq A_n \\leq Q_n$，即$$\\fracn\\sum\\limits_i = 1^n\\frac1x_i \\leq \\sqrt[n]\\prod\\limits_i = 1^nx_i \\leq \\frac\\sum\\limits_i = 1^nx_in \\leq \\sqrt\\frac\\sum\\limits_i = 1^nx_i^2n$$当$x_1 = x_2 = \\cdots = ~x_n$时，取等号。

 

证明

　　先用归纳法证明$G_n \\leq A_n$。

　　当$n = 2$时，由不等式 $a + b \\geq 2 \\cdot \\sqrtab$ 得到 $\\fraca + b2 \\geq \\sqrtab$，成立。

　　假设当$n = k$时成立，当$n = k + 1$时，有$$\\beginalign* A_k + 1 &= \\frac\\left( k + 1 \\right) \\cdot A_k + 1 + \\left( k - 1 \\right) \\cdot A_k + 12k \\\\ &= \\fracx_1 + x_2 + \\cdots + x_k + x_k + 1 + A_k + 1 + A_k + 1 + \\cdots + A_k + 12k \\\\ &= \\frac\\left( x_1 + x_2 + \\cdots + x_k \\right) + \\left( x_k + 1 + A_k + 1 + \\cdots + A_k + 1 \\right)2k \\\\ &\\geq \\frac12k\\left( k \\cdot \\sqrt[k]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k + k \\cdot \\sqrt[k]x_k + 1 \\cdot A_k + 1^k - 1 \\right) \\\\ &= \\frac12\\left( \\sqrt[k]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k + \\sqrt[k]x_k + 1 \\cdot A_k + 1^k - 1 \\right) \\endalign*$$由不等式$a + b \\geq 2 \\cdot \\sqrtab$得$$\\beginalign* A_k + 1 &\\geq \\sqrt[2k]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k \\cdot x_k + 1 \\cdot A_k + 1^k - 1 \\\\ A_k + 1^2k &\\geq x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k \\cdot x_k + 1 \\cdot A_k + 1^k - 1 \\\\ A_k + 1^k + 1 &\\geq x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k \\cdot x_k + 1 \\\\ A_k + 1 &\\geq \\sqrt[k + 1]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k \\cdot x_k + 1 \\endalign*$$即$$\\fracx_1 + x_2 + \\cdots + x_k + 1k + 1 \\geq \\sqrt[k + 1]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_k + 1$$得证。

　　下面证明$H_n \\leq G_n$。

　　很简单，只需要将不等式$G_n \\leq A_n$中的$x_i$都替换成$\\frac1x_i$，得到$$\\frac\\frac1x_1 + \\frac1x_2 + \\cdots + \\frac1x_nn \\geq \\sqrt[n]\\frac1x_1 \\cdot \\frac1x_2 \\cdot \\cdots \\cdot \\frac1x_n$$即$$\\fracn\\frac1x_1 + \\frac1x_2 + \\cdots + \\frac1x_n \\leq \\sqrt[n]x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_n$$得证。

　　最后证明$A_n \\leq Q_n$。

　　先引入柯西不等式$$\\sum\\limits_i = 1^na_i^2 \\cdot \\sum\\limits_i = 1^nb_i^2 \\geq \\left( \\sum\\limits_i = 1^na_i \\cdot b_i \\right)^2$$当$\\fraca_1b_1 = \\fraca_2b_2 = \\cdots = \\fraca_nb_n$或$a_1 = a_2 = \\cdots = a_n = 0$或$b_1 = b_2 = \\cdots = b_n = 0$时，取等号。

　　归纳法证明柯西不等式。

　　当$n = 2$时，$$\\beginalign* \\left( a_1^2 + a_2^2 \\right) \\cdot \\left( b_1^2 + b_2^2 \\right) &= a_1^2 \\cdot b_1^2 + a_1^2 \\cdot b_2^2 + a_2^2 \\cdot b_1^2 + a_2^2 \\cdot b_2^2 \\\\ &= a_1^2 \\cdot b_1^2 + a_2^2 \\cdot b_1^2 + 2 \\cdot a_1a_2b_1b_2 + a_1^2 \\cdot b_2^2 + a_2^2 \\cdot b_2^2 - 2 \\cdot a_1a_2b_1b_2 \\\\ &= \\left( a_1 \\cdot b_1 + a_2 \\cdot b_2 \\right)^2 + \\left( a_1 \\cdot b_2 - a_2 \\cdot b_1 \\right)^2 \\\\ &\\geq \\left( a_1 \\cdot b_1 + a_2 \\cdot b_2 \\right)^2 \\endalign*$$成立。

　　假设当$n = k$时成立，当$n = k + 1$时，有$$\\beginalign* \\sum\\limits_i = 1^k + 1a_i^2 \\cdot \\sum\\limits_i = 1^k + 1b_i^2 &= \\left( \\left( \\sqrt\\sum\\limits_i = 1^ka_i^2 \\right)^2 + a_k + 1^2 \\right) \\cdot \\left( \\left( \\sqrt\\sum\\limits_i = 1^kb_i^2 \\right)^2 + b_k + 1^2 \\right) \\\\ &\\geq \\left( \\sqrt\\sum\\limits_i = 1^ka_i^2 \\cdot \\sum\\limits_i = 1^kb_i^2 + a_k + 1 \\cdot b_k + 1 \\right)^2 \\\\ &\\geq \\sum\\limits_i = 1^ka_i \\cdot b_i + a_k + 1 \\cdot b_k + 1 \\\\ &= \\sum\\limits_i = 1^k + 1a_i \\cdot b_i \\endalign*$$得证。

　　由柯西不等式$$\\beginalign* \\left( \\frac1n \\cdot \\sum\\limits_i = 1^nx_i \\right)^2 &= \\frac1n^2\\left( x_1 \\cdot 1 + x_2 \\cdot 1 + \\cdots + x_n \\cdot 1 \\right)^2 \\\\ & \\leq \\frac1n^2 \\cdot \\left( x_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2 \\right) \\cdot \\left( 1^2 \\cdot 1^2 \\cdot \\cdots \\cdot 1^2 \\right) \\\\ &= \\fracx_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2n^2 \\endalign*$$

即$$\\frac1n \\cdot \\sum\\limits_i = 1^nx_i = \\fracx_1 + x_2 + \\cdots + x_nn \\leq \\frac\\sqrtx_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2n$$得证。

 

参考资料

　　【不等式】均值不等式及其应用：https://zhuanlan.zhihu.com/p/33706065

　　柯西不等式的几种证明方法：https://zhuanlan.zhihu.com/p/397034475

　　均值不等式：https://baike.baidu.com/item/%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/8046796