均值不等式的来龙去脉

Posted 2021-01-05 wanghai0666

均值不等式的来龙去脉

一、为什么叫均值不等式？

来自百度百科的说明，表达式(H_nleq G_nleq A_nleq Q_n)被称为均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

已知对于(n)个实数(x_1，x_2，cdots，x_n)而言，

(H_n=cfrac{n}{sumlimits_{k=1}^n{cfrac{1}{x_k}}}=cfrac{n}{cfrac{1}{x_1}+cfrac{1}{x_2}+cdots+cfrac{1}{x_n}})，被称为调和平均数；(G_n=sqrt[n]{prodlimits_{k=1}^n{x_k}}=sqrt[n]{x_1x_2cdots x_n})，被称为几何平均数；

(A_n=cfrac{sumlimits_{k=1}^n{x_k}}{n}=cfrac{x_1+x_2+cdots+x_n}{n})，被称为算术平均数；(Q_n=sqrt{cfrac{sumlimits_{k=1}^n{x^2_k}}{n}}=sqrt{cfrac{x^2_1+x^2_1+cdots+x^2_n}{n}})，被称为平方平均数；

由于上述不等式的四个部分，分别代表了(n)个实数的四种不同形式的(均值)平均数，所以经常被称作均值不等式。

在高中阶段，当(n=2)时，比如已知两个正实数(a，b)，比照上面我们就有了：
(H_2=cfrac{2}{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}}=cfrac{2ab}{a+b})，称为两个正实数(a，b)的调和平均数；

(G_2=sqrt{ab})，称为两个正实数(a，b)的几何平均数；

(A_2=cfrac{a+b}{2})，称为两个正实数(a，b)的算术平均数；

(Q_2=sqrt{cfrac{a^2+b^2}{2}})，称为两个正实数(a，b)的平方平均数；

这样我们就得到了一个重要的不等式组： (box[10px,yellow,border:2px dashed red]{cfrac{2}{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}}= cfrac{2ab}{a+b}leq sqrt{ab}leq cfrac{a+b}{2}leq sqrt{cfrac{a^2+b^2}{2}}})

二、如何证明(高中阶段的均值不等式)

一个公知的数学常识：对于任意的实数(x，yin R)，((x-y)^2ge 0)，将其展开就得到(x^2+y^2ge 2xy)。

此时我们做个代换，令(x=sqrt{a})，(y=sqrt{b})，代入上式就得到((sqrt{a})^2+(sqrt{b})^2ge 2sqrt{ab})，其中(age 0，bge 0)

实际应用中常常不考虑为零的情形，故有：(cfrac{a+b}{2}gesqrt{ab}(a，b>0)[当且仅当a=b时取到等号])，下来以此为基础我们证明其他部分

由(cfrac{1}{a} ightarrow a)，(cfrac{1}{b} ightarrow b)， 代入上式得到(cfrac{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}}{2}gesqrt{cfrac{1}{ab}}(a，b>0))，变换即得到(cfrac{2}{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{a}}leq sqrt{ab}[当且仅当a=b时取到等号])；

由(a^2+b^2ge 2ab)，两边同加(a^2+b^2)，得到(2(a^2+b^2)ge (a+b)^2)，开方得到(sqrt{2(a^2+b^2)}ge a+b)，两边同除以2，得到(cfrac{a+b}{2}leq sqrt{cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号])；

故有：(cfrac{2}{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}}= cfrac{2ab}{a+b}leq sqrt{ab}leq cfrac{a+b}{2}leq sqrt{cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号])

三、几个常用的结论

• (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)

证明：((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2ge 0)，打开整理就是 (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)(当且仅当(a=b=c)时取到等号)；

重要不等式的实际应用举例：

设(A、B、C、D)是半径为2的球面上的四点，且满足(ABperp AC)，(ADperp AC)，(ABperp AD)，则(S_{Delta ABC}+S_{Delta ABD}+S_{Delta ACD})的最大值是________.

分析：结合题意，依托球内接长方体，则球体的直径的平方等于三个长方体的长宽高的平方和，

故设(AB=a)，(AC=b)，(AD=c)，则有(a^2+b^2+c^2=4^2=16)；

由重要不等式可知，(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac)(当且仅当(a=b=c)时取等号)；

则(S_{Delta ABC}+S_{Delta ABD}+S_{Delta ACD}=cfrac{1}{2}(ab+bc+ac)leq cfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=8)；

即所求的最小值为8。

• 已知(a>0,b>0,a+b=1)，可知(ab)的范围。

分析：(1=a+bge 2sqrt{ab})，故有(0<sqrt{ab}leq cfrac{1}{2})，即(0< ableq cfrac{1}{4})。